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積分の質問です
塾で、 ∫(ax+b)^ndx = {1/a*(n+1)}(ax+b)^(n+1)+C という式を習った記憶があるのですが、 これはC以外を[ ]でくくると定積分でも使えますか？ というのも、 f(x)=2∫(3xt+1)^2dt-{∫(3xt+1)}^2-16xdt （定積分の区間はは2と0です） をxの整式として表せ。 という問題の左側の積分の方で使った所、 x^(-1) を含む式が出てきてしまいました。普通に展開してから解くと、 f(x)=12x^2-16x となります。 見にくい式ばかりで申し訳ないですが、どこが間違っているのか教えて頂けるとありがたいです。
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∫(3xt+1)^2dtにa=3x,n=2として適用すれば 1/(9x)[(3xt+1)^3]なので、0～2を計算すると 1/(9x){(6x+1)^3-1^3}=(216x^3+108x^2+18x)/(9x) =24x^2+12x+2 {∫(3xt+1)dt}^2にa=3x,n=1として適用すれば {1/(6x)[(3xt+1)^2]}^2なので、0～2を計算すると [1/(6x){(6x+1)^2-1^2}]^2={(36x^2+12x)/(6x)}^2 =(6x+2)^2=36x^2+24x+4 よって、 与式＝2(24x^2+12x+2)-(36x^2+24x+4)-16x ＝12x^2-16x となります。
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- naozou
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積分の計算が間違っていると思いますよ。 tに関する積分なので、xは定数(文字)として扱います。
お礼
xを定数とすることは何とか気づけたのですが、 自分の思いこみからの間違いでした。 ありがとうございました。
- kaaaiii
- ベストアンサー率21% (31/143)
基本的に定積分と不定積分の違いはCがあるかないかなので、 []でくくれば定積分でも使えます。 で、その式ですが、 -16xdt の部分がよく分かりません。 積分記号がかかってないので、ちょっと間違ってませんか？
お礼
ケアレスミスばかりで恥ずかしいですが、助かりました。 ありがとうございました。
補足
申し訳ありません。 最後のdtは∫(3xt+1)のdtで、正しくは f(x)=2∫(3xt+1)^2dt-{∫(3xt+1)dt}^2-16x です。 正しい式でやってもやはり x^(-1)は残ってしまいます…。 引き続き、お願いいたします。
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