数III相当 積分関連 方針

質問

連問投稿で申し訳ないです。

学校で与えられた、詳解のない問題集なのですが、
積分関連が苦手で、消化できないものが5つあります。
答えのない問題集で勉強するのは効率が悪いとは思いますが、
どなたか詳しい方、どうぞよろしくお願いします。答えは最後に書きました。

＜第１＞
2つの定積分
A=∫[0,π] {e^(-ax)*sin^2(x)} dx　及び　B=∫[0,π] {e^(-ax)*cos^2(x)} dx　で、AとBを求めよ。
※A+BとA-Bを求めて、何とかするんじゃないかと思うのですが...？

＜第２＞
関数f(x)はf(0)=0を満たす。また、g(x)=∫[0,x] {(e^x + e^t)*f´(t)} dt　とおく。g´(x)を求めよ。
さらに、e^x*f(x)=-3x^2*e^x+g(x)　が成り立つとき、f(x)を求めよ。

＜第３＞
定積分∫[0,1] log{(x+2)/(x+1)} dx　の値を求めよ。
さらに、lim[n→∞] 〔{(2n+1)(2n+2)…(2n+n)}/{(n+1)(n+2)…(n+n)}〕^(1/n)　を求めよ。
※log(x+2)-log(x+1)と分解して、それぞれを部分積分してみたのですが、答えにない定数が残ってしまいました。

＜第４＞
x≧0のとき、不等式x-(1/2)*(x^2) ≦log(x+1) ≦x　を証明せよ。
さらに、lim[n→∞] 　log〔1+{k/(n^2)}〕　を求めよ。

＜第５＞
定数c≠0としてlim[x→∞] 〔{sin√(x+c)}-{sin√(x)}〕　を求めよ。

答えは、
＜第１＞A=2{1-e^(-ax)}/{a(a^2 +4)}及び　B={a^2 +2}{1-e^(-ax)}/ {a(a^2 +4)}
＜第２＞g´(x)=e^x*f(x) + 2e^x*f´(x)及びf(x)= x^3+3x^2
＜第３＞log(27/16)及び27/16
＜第４＞証明は略されてる。極限は1/2
＜第５＞0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　どうぞよろしくお願いしします。

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

これだけ、やや重めの問題を複数まとめて質問すると、回答者としては、え、5つも～となって答えにくいので、１問ずつでなくても、似た方向の問題(これだと片方説明したら、以下同様ですむことも)ごとになどで分けた方がよさそうです。

＜第１＞、sin^2(x)は、(sinx)^2のことですよね。
テキストだけで書くときは、伝わりにくいこともあるので、後の形がベターかも、

ストレートに計算しようと思うなら、(sinx)^2 などの形の形のまま
積分するのは、難しいので、半角公式を使って、
(sinx)^2 = {1-cos(2x)}/2, (cosx)^2 = {1+cos(2x)}/2 と、
cos(2x)の形にする、すると、積分しやすい形になる(ここは大丈夫ですよね？)
そこで、部分積分をする、

指数関数と三角関数の積の場合は、どっちを(～)'の形にするのも、
難易度や手間は大差ないので、好きな方で大丈夫です。

先に、部分積分して(この場合は、e^(-ax)の方を(～)'の形にするんでないと、難しい)しまう、という手もありますが、次の段階の積分の式に、sinx*cosxのような式が出てくるので、そこで、sin(2x)を使って書き直して、また、部分積分、という手順になり、２度手間なので、お勧めできません。(できたら、２度手間になる意味が解るところまでは、こちらもやってみることをお勧めします。そうすれば、次には、同じ方向には、足を踏み入れないようになりやすいので)

＞※A+BとA-Bを求めて、何とかするんじゃないかと思うのですが...？

もいい手です。A+Bの方は、(sinx)^2+(cosx)^2=1が使えて、簡単になりますから。
A-Bより、B-Aの方がお勧めですが、それは(cosx)^2-(sinx)^2=cos(2x)がそのまま使える形になるから、
ストレートにやると、それぞれ、部分積分ですが、こちらの手では、
B-Aの方だけで済むので、大分、楽になります。

＜第２＞、定積分で定義された関数で、積分する関数の中に、xが入り込んでいるパターンですね。参考書などを持っていれば、そこを調べると、似たような(もうちょっと易しい)問題が例題に出ていて参考になると思うのですが…

∫[0,x] {(e^x + e^t)*f´(t)} dt のような、tで積分する関数に、
xの式が入り込んでいるときは、x=tの式、のようなことが書いてなければ、
tと関係ない文字、つまり、tに対しては定数と見て計算します。
その外側では、xが大切な文字で、tはなくなってしまう文字ですが、
それは、積分ができた後の話で、やっている最中は、あくまでも、
tで積分なので、気にしてはいけません。

g(x) = ∫[0,x] {(e^x + e^t)*f´(t)} dt
=∫[0,x] (e^x)*f´(t) dt + ∫[0,x] (e^t)*f´(t) dt
=(e^x)∫[0,x]f´(t) dt + ∫[0,x] (e^t)*f´(t) dt (e^xは定数扱いだから)

他の、定積分で定義された関数の問題が解けたのなら、
この式の両辺を微分する、は、できますよね(積の微分法が必要なところに注意)
すると、後、何をしたらいいかは、見えてくると思います。
あと、もう２点詰まりそうなところだけ注意しておくと、
積分の定義から、∫[0,x]f'(t)dt = f(x)-f(0)と、
g(0)はいくらになるか、これの使いどころです。

＜第３＞
＞※log(x+2)-log(x+1)と分解して、それぞれを部分積分してみたのですが、答えにない定数が残ってしまいました。

多分、単なる計算ミスです。余計な部分はきれいに消えるはず、
もう一度やってみてください。どちらかというと、別々に
部分積分するより、最初、∫logx dx で、不定積分の公式を
つくって、それに入れる、とやった方が、多少ともミスしにくいかも。

後半の極限値は、対数をとると、頭に(1/n)が出てきて、対数の和の形、
上手に処理すれば、区分積分に直せて、前半の積分結果が使えるように
なるはず、と、見れば、難しくないはずです。

＜第４＞、前半は、微積で出る不等式の定石通り、
右辺－左辺＝f(x)のようにおいて、微分して増減表を作るなどの手で、
結構簡単に示せるはずです。

後半は、kがあるのは、Σの形の書き忘れかと思いますが、だったら、
k/n=xなどと考えて、前半の式を使って区分積分＋挟み撃ちに
持ち込む、というような話ではないかと思います。

＜第５＞は、多分、忘れものなど、問題の写し損ないがありますよね？

補足

素早いご回答ありがとうございます。
大変参考になります。
アドバイスを頂いた方針で、計算をやり直しています。
5番については、和積の公式を用いたあと、三角関数の
取りうる値を考察することで解決できました。

区分求のΣの欠落など、失礼いたしました。

回答No.1

Tacosan

とりあえず 3 だけ: 「答えにない定数」とはなんですか? あなたがどのような計算をした結果その「答えにない定数」が残ったのですか?