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被積分関数に作用する関数
ある関数f(x)の定積分∫[a→b] f(x)dxがあるとします．このときにある関数g(x)を被積分関数に作用させるような写像，つまり ∫[a→b] f(x) dx → ∫[a → b] g(x) f(x) dx のような働きをする関数？は存在しますか？定積分なので別の関数を中に入れるなど不可能なように思うのですが，私が知らないだけで数学的には何かそのような働きをするものがあるのではないかと思い質問させていただきました．よろしくおねがいします．
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これはwell-definedではないのではないかと。 つまり、例えば、 f1(x)=2x f2(x)=1 a=0、b=1 とすると、∫[a→b] f1(x) dx=∫[a→b] f2(x) dx=1ですが、 c1=∫[a → b] g(x) f1(x) dx=∫[a → b] g(x) 2x dx c2=∫[a → b] g(x) f2(x) dx=∫[a → b] g(x) dx となって、一般にはc1、c2は異なる値を取ります。 特殊なg(x)を考える、あるいはfの定義域を制限すれば うまくwell-definedにできるかもしれませんが、 聞いたことが無いですね・・・ とはいえ、以上の話は、目的次第なところがあります。 数学も広いので、ひょっとすると私が知らないどこかで こういう汎関数（といいます）が活躍してるかもしれません。
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- ask-it-aurora
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gのような使い方をよくする関数はあります. 俗に"cutoff function"とか呼ばれているものです. 形はいろいろあると思いますがたとえば参考URLのようなものです. こういう関数を引っ掛けて積分すると遠方は常に0になってしまうのでもとの関数の一部だけを見ればよくなります. もとの関数をへにゃっとさせるので軟化子(mollifier)とか呼ばれます. たとえば多様体(平たくいえば曲面)上の積分を定義するときに"1の分割"というのを使うのですが, それを構成するのに使います. (解析系の人ならもっといろいろ知ってそうだけれど.)
お礼
ありがとうございました！
- ibm_111
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訂正： 汎関数じゃないです。 汎関数は、関数から実数（など）の写像です。 この場合は実数から実数なので、普通の関数ですね。
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