不定積分についてです

質問

(置換積分)
f:[a,b]→[c,d]がC^1級でg:[c,d]→Rが連続であるとき次の式が成立する

∫[a,b]g(f(x))f'(x)dx
＝
∫[f(a),f(b)]g(y)dy

この定理が成り立つのは良いのですが,不定積分について

∫g(f(x))f'(x)dx
＝∫g(y)dy

が成り立つ理由がわかりません…

部分積分も同様に,定積分の式ならわかるのですが、不定積分について
∫f(x)g'(x)＝
f(x)g(x)－∫f'(x)g(x)
となる理由がわかりません。

大学数学での不定積分のきちんとした定義とともに、
∫[a,b]g(f(x))f'(x)dx
＝
∫[f(a),f(b)]g(y)dy

∫f(x)g'(x)＝
f(x)g(x)－∫f'(x)g(x)

の成り立つ理由がわかる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願い致しますm(__)m

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

不定積分の定義は、微分の逆操作です。
関数 f(x) が関数 F(x) の導関数であるとき、
F(x) は f(x) の原始関数であると言い、
f(x) から F(x) を求めることを「不定積分する」と言う。
原始関数のことを、名詞で「不定積分」と呼ぶのは、
言葉の流用です。

ですから、
不定積分について公式が成立することを示すのに、
式を微分して考えたり、既知の公式の両辺を積分して
証明したりするのは、不定積分の定義に従った方法です。

定積分の定義のほうが、むしろ厄介で、
http://opencourse.doshisha.ac.jp/open/bunka_joho/07179109001/integral1.htm
これに素朴に従って何かを証明するのは難しいと思います。
微積分学の基本定理「定積分は不定積分の差である」を使って、
定積分に関する公式は、不定積分の公式に転嫁して証明する
のが常道です。

補足

回答ありがとうございます。

別の本で調べたところ、
『元来はfの不定積分とは積分限界を変数とした積分∫[a,x]f(t)dtのことであるが、微積分の基本定理によりほととんど原始関数と同義。この意味でのｆの不定積分を∫f(x)dxと表す』
とあるのですが,これは不定積分が定積分を使って定義されてませんか…？

回答No.4

arrysthmia

私の説明では、「定積分」と「不定積分＝原始関数」が等しいというのが基本定理、
その説明では、「定積分≒不定積分」と「原始関数」が等しいというのが基本定理
としていますね。「不定積分」を、結局は一致する「定積分」と「原始関数」の
どっちにくっつけて話を始めるか…という差でしかありませんが。

そっちの説明では、「定積分」と「不定積分」の言葉を区別する意味は
何かあるのでしょうか？

補足

原始関数＝不定積分がなんか混乱します…。

(でも不定積分が微分の逆演算で定義され、あの証明が定義に基づくものだというのはなんとなくわかりました。)

解析概論には
積分∫[a,x]f(x)dxの上の限界を変数とし、下の限界を任意の定数とすれば、その定数をどうきめても差はxに無関係。すなわちf(x)が積分可能なる区間に属する任意の定数a、a'について
∫[a',x]
＝∫[a,x]－∫[a,a']
で∫[a,a']はxに関係しない。このように積分の下の限界なる定数を指定しない場合に積分を限界なしに
∫f(x)dxとかいて、それを不定積分という。fが連続ならば不定積分は原始関数と同意語。

この文章の意味がわかればarrysthmiaさんの仰ることがよくわかると思うんですが、この意味がよくわからないんですよね…

解析概論ではこれより前に原始関数を∫f(x)dxと書いてますが…

回答No.2

proto

教科書を読めばすぐに解決しそうな質問ですが。

前者は合成関数の微分より
　　(d/dx)g(f(d)) = g'(f(x))*f'(x)
の両辺をxで積分することにより得られる。

後者は積の微分法より
　　(d/dx)(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
　　f(x)g'(x) = (d/dx)(f(x)g(x)) - f'(x)g(x)
の両辺をxで積分すると、積分の線型性より得られる。

補足

お二方とも回答ありがとうございます。

高校の参考書にも同じやり方で両辺をxで積分して…としてるのですが、この"xで積分して"の意味がわからないのです…

例えば積分の線形性についても、教科書には
A(I)＝{f|fはI上の有界可積分関数}とおくと
A(I)は和や積やスカラ―倍について閉じている
と書いてある。
また、積分については
上積分と下積分が一致するときfは可積分であるといい∫[a,b]f(x)dxをfの積分という
と書いてあります。

両辺をxについて積分するとは
∫f(x)dxなどとするのではなく∫[a,b]f(x)dxのことではないのですか？

∫f(x)dxの定義とはなんなのでしょうか？

申し訳ありませんが回答よろしくお願い致します。

回答No.1

ichiro-hot

●　関数の積ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）の微分から、逆演算として不定積分をして公式的に求める。
　｛ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）｝’＝ｆ’（ｘ）・ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）・ｇ’（ｘ）
移項して，
　ｆ（ｘ）・ｇ’（ｘ）＝｛ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）｝’－ｆ’（ｘ）・ｇ（ｘ）
両辺をｘについて積分をすると，
　∫ｆ（ｘ）・ｇ’（ｘ）・ｄｘ＝∫｛ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）｝’・ｄｘ－∫ｆ’（ｘ）・ｇ（ｘ）・ｄｘ
　　　　　　　　　　　　＝ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）－∫ｆ’（ｘ）・ｇ（ｘ）・ｄｘ
が得られます。