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難しい（？）不定積分
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- 回答No.4
- info22_
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#2,#3です。 g(x)の積分について t=tan(x/2),u=((1+a)/(1-a))t,tan(v)=uといった3回の変数変換をすれば以下の 積分結果が得られます。根気良く変数変換して計算しましょう。 積分したら、微分して元のg(x)に戻るから以下の積分は正しいでしょう。 I=∫g(x)dx=∫(1-a^2)/(1-2a*cos(x)+a^2) dx =2tan^-1(((1+a)/(1-a))tan(x/2))+C (Cは積分定数） これも高校の数学レベルですね。
- 回答No.3
- info22_
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#2です。 f(x)の積分を双曲線関数tanh(x)を使わない式に変形すれば次のようになります。 （同じ式の変形ですから両方とももちろん正解です。） I=∫a/(a-sin(x))dx =(|a|/√(1-a^2))log|(tan(x/2)-√((1/a^2)-1)-(1/a)))/(tan(x/2)+√((1/a^2)-1)-(1/a))|+C (0<|a|<1) この形なら高校レベルの積分になります。
- 回答No.2
- info22_
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先ずf(x)(については途中計算は煩雑なため省略しますが以下のようになります。 正しいことは積分結果を微分して被積分関数f(x)になることで確認できます。 t=tan(x/2),u=(t-1/a)/√((1/a^2)-1),v=tanh(u),z=-2v/√((1/a^2)-1) といった4回の変数変換をすれば積分できるかと思います。 ここで tanh(u)≡((e^u)-e^(-u))/((e^u)+e^(-u))=((e^(2u))-1)/((e^(2u))+1) です。 （双曲線関数tanh(x)については参考URL参照） I=∫a/(a-sin(x))dx=-(2tanh^-1((tan(x/2)-1/a)/√((1/a^2)-1)))/√((1/a^2)-1)+C （Cは積分定数) g(x)については出来たら追加回答します。
- 回答No.1
- inara1
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t = tan(x/2) とおけばいいです。 sin(x) = 2*t/( 1 + t^2 )、cos(x) = ( 1- t^2 )/( 1 + t^2)、dx = 2/( 1 + t^2 ) dt ですから f(x) dx = 2/{ ( t - 1/a )^2 - ( 1 - a^2 )/a^2 } dt g(x) dx = 2*( 1 - a^2 )/{ ( a - 1 )^2 + ( a + 1 )^2*t^2 } dt 1 - a^2 > 0 であることを考慮すれば f(x) は部分分数に分解できます。 g(x) は t = { ( a - 1 )/( a + 1 ) }*tan(s) とおけば、dt = { ( a - 1 )/( a + 1 ) }*{ 1 + tan(s)^2 ds ですから後はできますね。 g(x) の定積分は π/2 ごとに区切って積分するのでしょうかね。
質問者からのお礼
だいぶ、お礼が遅くなり申し訳ないです。 自分で、やり直したら、fの方もgの方も出来ました。もっともgの方は全区間で出来てませんが・・・ よけいなお手数おかけして申し訳なかったです。
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