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両辺に不定積分を取ることにてです。
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＞ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ は成り立ちますか？ 積分範囲を確認する必要があります。 ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ） （1） はその積分範囲全域においてなり立つという意味に取られます。 逆に（1）の成り立つ範囲（a~b）に含まれる２点c,xを考えると a≦x<c≦ｂ の条件下で ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫[c→x]ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫[c→x]ｇ（ｘ）ｄｘ これは定積分の意味でも原始関数の意味でも成り立ちます。 ＞ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫［a→ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫［a→b］ｇ（ｘ）ｄｘ は成り立ちますか？ 上記の意味で成り立ちます。
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- jmh
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> 確実にならばは成り立つんですね。 > 高校数学においては、 ちょっと調べました。不定積分∫ｆは微分するとｆになる「すべて」の関数を求める操作のようです。結果として積分定数を含んだ形になりますが、パラメーターを含んだもの同士を (同じモノを表していても) 等号で結ぶということはできないような気がします。それで「∫ｆ＝∫ｇ」とは書かないと思います。 例えば、ｙ＝２ｘを積分して、Ａさんはｘ^2＋Ｃ、Ｂさんはｘ^2＋Ｋ、Ｃさんは２ｘ^2＋Ｒと答えたとして、Ａさんの答えとＢさんの答えが「同じ」だということを「ｘ^2＋Ｃ＝ｘ^2＋Ｋ」とは書かないと思います。Ｃさんの答えは「違う」ということを「ｘ^2＋Ｋ≠２ｘ^2＋Ｒ」とも書かないと思います。
お礼
ありがとうございます(^^♪ そうなんですね～。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>確実にならばは成り立つんですね。 何だろう？？ 連続のこと？
お礼
ありがとうございます。 ＞(=>) ｆに何んかして△ｆを求める操作△：ｆ→△ｆがあるときに「ｆ＝ｇならば△ｆ＝△ｇ」なのは当然のことだと思います。△が微分でも平行移動でも「不定」積分∫であっても。 の事です。
- jmh
- ベストアンサー率23% (71/304)
> ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ > は成り立ちますか？ (=>) ｆに何んかして△ｆを求める操作△：ｆ→△ｆがあるときに「ｆ＝ｇならば△ｆ＝△ｇ」なのは当然のことだと思います。△が微分でも平行移動でも「不定」積分∫であっても。 (<=) これは∫の方法によると思います。ｆとｇがある１点において異なる値をとったとしても、それらの「定」積分はすべて同じになったりしますから。
お礼
ありがとうございますっ！ 確実にならばは成り立つんですね。 高校数学においては、 ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ、 ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫［a→ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫［a→b］ｇ（ｘ）ｄｘ が成り立つという理解でいいですか？
> ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ > は成り立ちますか？ 不定積分の相等を考えるのは無意味です。 関数ｆ，ｇ，Ｆ，ＧについてＦ’＝ｆ，Ｇ’＝ｇという関係があるとき ”ｆ＝ｇ⇔Ｆ＝Ｇ”が成り立つかどうか考えるのなら意味はあります。 そしてこれはもちろん成り立ちません。 > ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫［a→ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫［a→b］ｇ（ｘ）ｄｘ > は成り立ちますか？ ｆ，ｇ，ａ，ｂ，ｘについての情報がなく、右辺が意味を持つかどうかが不明なので意味がないです。 ａ，ｂが実数であり関数ｆ，ｇが区間［ａ，ｂ］で積分可能なとき ”ｆ＝ｇ⇔∫［ａ→ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫［ａ→ｂ］ｇ（ｘ）ｄｘ”が成り立つかどうか考えるのなら意味はあります。 そしてこれはもちろん成り立ちません。
お礼
ありがとうございます。 そうなんですね。
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ありがとうございますっ！ ＞ ＞ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ は成り立ちますか？ 積分範囲を確認する必要があります。 ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ） （1） はその積分範囲全域においてなり立つという意味に取られます。 逆に（1）の成り立つ範囲（a~b）に含まれる２点c,xを考えると a≦x<c≦ｂ の条件下で ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫[c→x]ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫[c→x]ｇ（ｘ）ｄｘ これは定積分の意味でも原始関数の意味でも成り立ちます。 結局、ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ、ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫［a→ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫［a→b］ｇ（ｘ）ｄｘ は全ての範囲において成り立つという事ですか？