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両辺に不定積分を取ることにてです。

f(x)=g(x)⇔∫f(x)dx=∫g(x)dx は成り立ちますか? あと、 定積分 f(x)=g(x)⇔∫[a→b]f(x)dx=∫[a→b]g(x)dx は成り立ちますか? (⇔:同値)

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>f(x)=g(x)⇔∫f(x)dx=∫g(x)dx は成り立ちますか? 積分範囲を確認する必要があります。 f(x)=g(x)   (1) はその積分範囲全域においてなり立つという意味に取られます。 逆に(1)の成り立つ範囲(a~b)に含まれる2点c,xを考えると a≦x<c≦b の条件下で f(x)=g(x)⇔∫[c→x]f(x)dx=∫[c→x]g(x)dx これは定積分の意味でも原始関数の意味でも成り立ちます。 >f(x)=g(x)⇔∫[a→b]f(x)dx=∫[a→b]g(x)dx は成り立ちますか? 上記の意味で成り立ちます。

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質問者からのお礼

ありがとうございますっ! > >f(x)=g(x)⇔∫f(x)dx=∫g(x)dx は成り立ちますか? 積分範囲を確認する必要があります。 f(x)=g(x)   (1) はその積分範囲全域においてなり立つという意味に取られます。 逆に(1)の成り立つ範囲(a~b)に含まれる2点c,xを考えると a≦x<c≦b の条件下で f(x)=g(x)⇔∫[c→x]f(x)dx=∫[c→x]g(x)dx これは定積分の意味でも原始関数の意味でも成り立ちます。 結局、f(x)=g(x)⇔∫f(x)dx=∫g(x)dx、f(x)=g(x)⇔∫[a→b]f(x)dx=∫[a→b]g(x)dx は全ての範囲において成り立つという事ですか?

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  • 回答No.5
  • jmh
  • ベストアンサー率23% (71/304)

> 確実にならばは成り立つんですね。 > 高校数学においては、 ちょっと調べました。不定積分∫fは微分するとfになる「すべて」の関数を求める操作のようです。結果として積分定数を含んだ形になりますが、パラメーターを含んだもの同士を (同じモノを表していても) 等号で結ぶということはできないような気がします。それで「∫f=∫g」とは書かないと思います。 例えば、y=2xを積分して、Aさんはx^2+C、Bさんはx^2+K、Cさんは2x^2+Rと答えたとして、Aさんの答えとBさんの答えが「同じ」だということを「x^2+C=x^2+K」とは書かないと思います。Cさんの答えは「違う」ということを「x^2+K≠2x^2+R」とも書かないと思います。

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質問者からのお礼

ありがとうございます(^^♪ そうなんですね~。

  • 回答No.4

>確実にならばは成り立つんですね。 何だろう?? 連続のこと?

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 >(=>) fに何んかして△fを求める操作△:f→△fがあるときに「f=gならば△f=△g」なのは当然のことだと思います。△が微分でも平行移動でも「不定」積分∫であっても。 の事です。

  • 回答No.3
  • jmh
  • ベストアンサー率23% (71/304)

> f(x)=g(x)⇔∫f(x)dx=∫g(x)dx > は成り立ちますか? (=>) fに何んかして△fを求める操作△:f→△fがあるときに「f=gならば△f=△g」なのは当然のことだと思います。△が微分でも平行移動でも「不定」積分∫であっても。 (<=) これは∫の方法によると思います。fとgがある1点において異なる値をとったとしても、それらの「定」積分はすべて同じになったりしますから。

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質問者からのお礼

ありがとうございますっ! 確実にならばは成り立つんですね。 高校数学においては、 f(x)=g(x)⇔∫f(x)dx=∫g(x)dx、 f(x)=g(x)⇔∫[a→b]f(x)dx=∫[a→b]g(x)dx が成り立つという理解でいいですか?

  • 回答No.2
noname#201335

> f(x)=g(x)⇔∫f(x)dx=∫g(x)dx > は成り立ちますか? 不定積分の相等を考えるのは無意味です。 関数f,g,F,GについてF’=f,G’=gという関係があるとき ”f=g⇔F=G”が成り立つかどうか考えるのなら意味はあります。 そしてこれはもちろん成り立ちません。 > f(x)=g(x)⇔∫[a→b]f(x)dx=∫[a→b]g(x)dx > は成り立ちますか? f,g,a,b,xについての情報がなく、右辺が意味を持つかどうかが不明なので意味がないです。 a,bが実数であり関数f,gが区間[a,b]で積分可能なとき ”f=g⇔∫[a→b]f(x)dx=∫[a→b]g(x)dx”が成り立つかどうか考えるのなら意味はあります。 そしてこれはもちろん成り立ちません。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 そうなんですね。

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