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数学III 定積分の問題を教えて下さい!!

問 次の各問に答えよ (1)略 (2)定積分 ∫<0、π> {(xsinx)/(1+cos^(2)x)} dx の値を求めよ。(ただし、∫<a、b> f{x} dxとは「f(x)のaからbの定積分」を表しています。) という問題なのですが、解き方を教えて下さい。 また、どうしてそういう解き方が思いついたのかも教えていただけると有り難いです。 因みに(1)で等式∫<π/2、π> {xf(sinx)} dx = ∫<0、π/2> {(π-x)f(sinx)} dx (但しf(x)は閉区間[0,1]で連続)を証明しています。 回答よろしくお願いいたします!!

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noname#202122
noname#202122

f(sinx)={(sinx)/(1+cos^(2)x)} となるようにfを決める。 区間[0,π]を[0,π/2]と[π/2,π]に分割すると、[π/2,π]での積分に(1)が使える。 この問題はここがすべて。 お察しの通り素直に誘導されてください。 すると積分は π∫<0、π/2> {(sinx)/(1+cos^(2)x)} dx になる。被積分関数からxが消えていることに注目。 cos x = tan tと置いて置換積分すればおわり。

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質問者からのお礼

考え方が整理されていて、わかり易かったのでこちらをベストアンサーにさせて頂きます。 noname#202122さん、info222_さん、本当にありがとうございました!!!

質問者からの補足

なるほど!!f(sinx)はそう定めれば良かったのですね!!! しかし、f(sinx)を定めるのには、やはり慣れの問題なのでしょうか?たくさん問題をこなしていけば、問題を見て、少し考えると、こうすればいいというふうにわかるようになるものなのですか? それとも何か、コツみたいなのがあるのですか?

その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • info222_
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I=∫<0、π> {(xsinx)/(1+cos^(2)x)} dx =∫<0、π/2> {(xsinx)/(1+cos^(2)x)} dx+∫<π/2、π> {(xsinx)/(1+cos^(2)x)} dx 第2項に(1)の結果を適用 sin(x)/(1+cos^(2)x)=sin(x)/(2-sin^(2)x)=f(sin(x))と考えて I=∫<0、π/2> {xf(sinx)} dx+∫<π/2、π> {xf(sinx)} dx =∫<0、π/2> {xf(sinx)} dx+∫<0、π/2> {(π-x)f(sinx)} dx =∫<0、π/2> {xf(sinx)} dx -∫<0、π/2> {xf(sinx)} dx+∫<0、π/2> {πf(sinx)} dx =∫<0、π/2> {πf(sinx)} dx =π∫<0、π/2> f(sinx) dx =π∫<0、π/2> {sinx/(1+cos^(2)x)} dx =π∫<0、π/2> {-(cosx)'/(1+cos^(2)x)} dx cosx=tとおくと I=π∫<1, 0> {-1/(1+t^2)}dt =π∫<0, 1> {1/(1+t^2)}dt 公式∫{1/(1+t^2)}dt=arctan(t)+C=tan^(-1)t+Cを用いて I=π[arctan(t)]<0, 1> =π{arctan(1)-arctan(0)} =π(π/4 -0) =(1/4)π^2

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  • 回答No.2
noname#202128
noname#202128

コツはありません。 積分の計算の仕方はパターンがほぼ決まっていますから、被積分関数がどういう形だと計算できるかという形が予め頭に入っているかどうかでしょう。 本問のf(sinx)はその形の一つです。 問題を数多く解くのは非効率的です。たまたまそういう形に遭遇すれば幸運ですがそうとは限りませんので。計算パターンが整理されたものを読むのがよいと思います。高校の学参に載っているかどうかは知りませんが『解析概論』(高木)や『解析入門I』(杉浦)には載っています。他の微積分の専門書でもたいてい載っているでしょう。解説なしの簡単なものなら理科年表の付録にもあります。理科年表は知識を整理するには便利だしとっつきやすいのでオススメですよ。

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質問者からのお礼

アドバイスありがとうございます!残念ながら解析概論、解析入門Iともに所持しておりません。しかし、理科年表なら図書館にありそうなので見てみることにします!! 積分がスラスラ解けるよう頑張ります! ありがとうございました!

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