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逆関数を利用した定積分の計算

参考書の模範回答を読んでも分からなかったので質問します。 f(x)=log[{-1+√(1+4x)}/2]とおき、関数y=f(x)(x≧2)とその逆関数y=g(x)(x≧0)について考える 問1:g(x)をxの式で表せ 問2:a≧2のとき、∫[2,a]f(x)dx=af(a)=∫[0,f(a)]g(x)dxを示せ 問1は分かりました。 g(x)=e^(2x)+e^x(x)(x≧0) 問2について(模範回答より) y=f(x)に対し、x=g(y)であるからdx=g'(y)dy f(x)はx≧2に於いて増加関数である。 a≧2のとき、xとyの対応は次のようになる x:2 --> a y:0 --> f(a) ∫[2,a]f(x)dx = ∫[0,f(a)]y*g'(y)dy = [y*g(y)]_|y=0,f(a)|-∫[0,f(a)]g(y)dy = f(a)*g(f(a))-∫[0,f(a)]g(y)dy ・・・(1) = a*f(a)-∫[0,f(a)]g(x)dx ・・・(2) なぜ(1)から(2)が導かれるのか教えてください。 (1)の∫[0,f(a)]g(y)dyが(2)の∫[0,f(a)]g(x)dxになるのは おそらく「定積分は、関数の形と上端、下端の値で決まり、変数に取った文字には無関係」、つまり 「∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,b]f(t)dt」から導かれるのでしょうが(間違っていたら指摘してください)、 (1)のf(a)*g(f(a))が(2)のa*f(a)になるのが理解できません。 おねがいします。

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  • info22_
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問1 >問1は分かりました。 >g(x)=e^(2x)+e^x(x)(x≧0) これは g(x)=e^(2x)+e^x (x≧0) のミスですね。 問2 >= f(a)*g(f(a))-∫[0,f(a)]g(y)dy ・・・(1) >= a*f(a)-∫[0,f(a)]g(x)dx ・・・(2) >なぜ(1)から(2)が導かれるのか教えてください。 >(1)の∫[0,f(a)]g(y)dyが(2)の∫[0,f(a)]g(x)dxになるのは >おそらく「定積分は、関数の形と上端、下端の値で決まり、変数に取った文字には無関係」、つまり >「∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,b]f(t)dt」から導かれるのでしょう その通り、合っています。 >(1)のf(a)*g(f(a))が(2)のa*f(a)になるのが理解できません。 y=f(x)でx=aとおいたときのyをbとすると b=f(a) ...(3) です。 y=f(x)の逆関数がy=g(x)です。 これはy=f(x)をxについて解くと x=g(y) であることと同じです。 つまり、x=aのとき y=bなので a=g(b) ...(4) (3)のbを(4)に代入すると  a=g(f(a)) ...(5) となりますね。 したがって, (5)の左辺と右辺を入れ替えてから、両辺にf(a)を掛ければ  f(a)*g(f(a))= f(a)*a となります。 質問の「(1)から(2)が導かれる」ことが理解できたと思いますが、いかがですか?

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質問者からのお礼

丁寧な説明で、とてもよく分かりました。 ありがとうございました。

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  • 回答No.3
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

g が f の逆関数であるとは、 y=f(x) と x=g(y) が同値だということです。 よって、f の定義域内の任意の x について x = g(f(x))。 上の式から y を代入消去すると、こうなります。 これを使って、 f(a)*g(f(a)) = f(a)*a = a*f(a)。 これだけです。 ひょっとして、f(a) が a に、g(f(a)) が f(a) に対応 すると思ってしまったのではありませんか?

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質問者からのお礼

>>ひょっとして、f(a) が a に、g(f(a)) が f(a) に対応 >>すると思ってしまったのではありませんか? まさにこの通りでした。 ありがとうございました。

  • 回答No.1

「定積分は、関数の形と上端、下端の値で決まり、変数に取った文字には無関係」、つまり 「∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,b]f(t)dt」から導かれる」 でまちがいありません。 y=f(x)の逆関数はx=g(y)だから、前者を後者に代入して x=g(y)=g(f(x)) となり、x=aとするとa=g(f(a))

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質問者からのお礼

ありがとうございました。

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