定積分の問題について

質問

定積分の問題についておしえてください

以下の問題の答えをおしえていただけないでしょうか

１．閉区間[α、β]で定義された連続関数y=f(x)のグラフを、x軸の周りに回転して得られる回転体の体積は
Ｖ＝π∫(αからβ）{f(x)}^2dxで与えられる。これを用いて、半径aの球の体積を求めよ。

２．ε,k,Mを正の定数として、次の定積分を求めよ。

(a)∫(εから1)dx/x (b)∫(εから1)x^-kdx(k≠1) (c)∫(0からM）sinxdx

(d)∫(0からM）xe^-xdx (e)∫(0からM)dx/e^x+1 (f)∫(0から1/2)dx/√1-x^2

お願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

1.　半径aの球は　f(x)=√(a^2-x^2) [-a,a]　としてx軸周りに回転して得られる回転体なので
　　V=π∫[x=-a→a] (a^2-x^2)dx
=2π∫[x=0→a] (a^2-x^2)dx　　　　（偶関数の積分なので）
=2π[a^2 x-x^3/3][x=0→a]
=4πa^3/3

2.(a) ∫[x=ε→1] dx/x =[log|x|][x=ε→1] =-log(ε)
2.(b) ∫[x=ε→1] x^(-k)dx =[x^(-k+1)/(-k+1)][x=ε→1] ={1-ε^(-k+1)}/(-k+1)　　　（k≠1)
2.(c) ∫[x=0→M] sin(x)dx =[-cos(x)][x=0→M] =-cos(M)+1
2.(d) ∫[x=0→M] x*exp(-x)dx =[-x*exp(-x)][x=0→M]+∫[x=0→M] exp(-x)dx =-Mexp(-M)+[-exp(-x)][x=0→M] =-(M+1)exp(-M)+1　　（部分積分）
2.(e) ∫[x=0→M] dx/{exp(x)+1} =∫[x=0→M] (1-exp(x)/{exp(x)+1}})dx =[x-log{exp(x)+1}][x=0→M] =M-log{exp(M)+1}+log(2)
2.(f) ∫[x=0→1/2] dx/√(1-x^2) =∫[θ=0→π/6] cos(θ)dθ/cos(θ) =[θ][θ=0→π/6] =π/6
　　（置換積分　x=sin(θ), dx=cos(θ)dθ, x=0のときθ=0, x=1/2のときθ=π/6　）

お礼

ありがとうございました！！