定積分の問題について

質問

f(a,b)＝∫[-1→1](x^2-ax-b)^2dxを最小にする実数a,bの値、
および、そのときのf(a,b)の値を求めよ。
積分をして最終的に2/3a^2+2(b-1/3)^2+8/45となったんですが、
この後の答えの出し方が分かりません。教えてください。

回答No.4

noname#57316 · ベストアンサー

f(a,b)＝∫[-1→1](x^2-ax-b)^2dx
∂f(a,b)/∂a=∫[-1→1]{∂(x^2-ax-b)^2/∂a}dx＝0
を満たす a を求める。
∫[-1→1]{∂(x^2-ax-b)^2/∂a}dx
＝2・∫[-1→1]{(x^2-ax-b)・(-x)}dx
＝∫[-1→1](-2x^3+2ax^2+2bx)dx
＝〔-{(x^4)/2}+{(2ax^3)/3}+bx^2〕|[-1→1]
＝2・(2a)/3
＝0
∴　a=0

∂f(a,b)/∂b=∫[-1→1]{∂(x^2-ax-b)^2/∂a}dx＝0
を満たす b を求める。
∫[-1→1]{∂(x^2-ax-b)^2/∂b}dx
＝2・∫[-1→1]{(x^2-ax-b)・(-1)}dx
＝∫[-1→1](-x^2+ax+b)dx
＝〔-{(x^3)/3}+{(ax^2)/2}+bx〕|[-1→1]
＝2・{-(1/3)+b}
＝0
∴　b=1/3

f(0,1/3)＝∫[-1→1]{x^2-(1/3)}^2dx
＝∫[-1→1]〔x^4-{(2x^2)/3}+(1/9)〕dx
＝〔{(x^5)/5}-{(2x^3)/9}+(x/9)〕|[-1→1]
＝2・〔(1/5)-(2/9)+(1/9)〕＝8/45

故に、a=0、b=1/3　のとき f(a,b) は最小で、
最小値は、f(0,1/3)=8/45

　-----------------

始めに積分を実施したのであれば、
f(a,b)＝(2/3)a^2+2{b-(1/3)}^2+(8/45)
∂f(a,b)/∂a＝(4/3)a＝0
∂f(a,b)/∂b＝4{b-(1/3)}＝0
より、a=0、b=1/3 のとき f(a,b) は最小で、
最小値は、f(0,1/3)=8/45

お礼

他の解答の仕方もあったんですね。ありがとうございます。

回答No.3

0lmn0lmn0

>>(2/3)(a^2)+2((b-(1/3))^2)+(8/45)

計算も平方完成も正しくなされていて、不思議です。

a=0, b=(1/3) のときに、
最小値　f(0,1/3)=(8/45) です。

お礼

普通に答えを出してよかったんですね。

回答No.2

info22

＞最終的に(2/3)a^2 +2{b-(1/3)}^2 +(8/45)となったんですが、

a^2≧0, {b-(1/3)}^2≧0ですから
等号が両方とも成立する
a=0,b=1/3の所で最小値になります。
最小値は,勿論, a=0,b=1/3のときで
(2/3)a^2 +2{b-(1/3)}^2 +(8/45)=8/45
でしょう。

お礼

あんまりこんな問題を解いたことなかったので、ちょっとしたところでも分からなくなってました。

回答No.1

debut

a^2も(b-1/3)^2も０以上であるし、間も足し算なので、これらが
０になるときが最小ですよね。

お礼

このあと普通に答えを出せばよかったんですね。