- ベストアンサー
またまた積分お願いします。
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
範囲は省略 ∫(ax-sinx)^2dx =∫(a^2x^2-2axsinx+sin^2x)dx =a^2/3[x^3]-2a{[x(-cosx)]-∫(x)'(-cosx)dx}+1/2∫{1+cos(2x)}dx =a/3(π^3/8-0)+2a[xcosx]-[sinx]+1/2[x+1/2sin2x] =a^2π^3/8+2a+0-1+1/2{(π/2-0)+1/2(0-0) =a^2π^3/8+2a+π/4 =π^3/8(a+8/π^3)^2-8/π^3+π/4 よって、a=-8/π^3のとき最小でこの時 ∫(ax-sinx)^2dx=-8/π^3+π/4 2e^loge+1/2 これについてですが loge=1となります。(あるいはe^loga=aから求めてもよい) よって 2e^loge+1/2=2e+1/2
関連するQ&A
- 定積分の問題について
f(a,b)＝∫[-1→1](x^2-ax-b)^2dxを最小にする実数a,bの値、 および、そのときのf(a,b)の値を求めよ。 積分をして最終的に2/3a^2+2(b-1/3)^2+8/45となったんですが、 この後の答えの出し方が分かりません。教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 至急！数III！積分
解答がなく、困っています。よろしくお願いいたします。 (1)定積分 I=∫(0→５π)│3sinｘ+2cosｘ│dx の値。 (2)a>0で I=∫(0→π/2)│a cosｘ－sinｘ│dxを求め、これを最小とするaの値 (3)ｘ>0で In＝∫(1→x) t (log t)n乗dt (n=1,2....)とおく In+1とIn との関係、またI4をもとめよ。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分積分
数学の問題を解いたのですが、解答がないので答え、途中式があっているのか分からず困っています。 皆さんの力を是非お貸しください。 I f(x)=x^x(x>0)の最小値を求めよ。 ＊x^xは「xのx乗」と言う意味です 私の解答)[対数を使うのでは？と思いました] g(x)=logf(x)=xlogx xは0に近づくにつれ、限りなく0に近くなる。 logxもxが0に近づくにつれ、logxは小さくなる。 よってxlogxは限りなく小さくなり、 最小値はない。・・・・(答え) II ∫xe^(－ax) dx(a>0)を計算せよ。 [0 ∞] ＊∫ は定積分で∫の上側に∞、下側に0がある意味で使っています [0 ∞] ＊e^(－ax)はeの－ax乗と言う意味で使っています。 私の解答)[部分積分を使うのでは？と思いました] f =x f' =1 g' =e^-ax g =-a・e^-ax ∫xe^(－ax) dx=[-ax・e^(-ax)]－∫(-a・e^-ax)dx [0 ∞] [0 ∞] [0 ∞] =-a・e^-ax・∞+a・e^-ax ・・・・(答え) III ∫xcos(ax)dx(a≠0)を計算せよ。 [0 1] 私の解答)(IIと同様に部分積分か？と思いました) f =x f' =1 g' =cos(ax) g =sin(ax) ∫xcos(ax)=[xsin(ax)]－∫sin(ax) [0 1] [0 1] [0 1] =sin(a)+[cos(ax)] [0 1] =sin(a)+cos(a) ・・・・(答え) 特にIIの∫の範囲(？)に∞が入ったものを経験したことがなく、手持ちの本にも例題がなくxにそのまま代入してよいのか分かりません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分をといてください
簡単な問題ですみません。 積分を問いえてください。 途中のとき方も簡単にでよいので教えていただけると助かります。 あまりに昔に習ったので完全に忘れてしまいました。 y=∫ax・exp(-ax)dx 定積分で(0～∞)です。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学III 定積分の問題を教えて下さい！！
問 次の各問に答えよ (1)略 (2)定積分 ∫<0、π> {(xsinx)/(1+cos^(2)x)} dx の値を求めよ。(ただし、∫<a、b> f{x} dxとは「f(x)のaからbの定積分」を表しています。) という問題なのですが、解き方を教えて下さい。 また、どうしてそういう解き方が思いついたのかも教えていただけると有り難いです。 因みに(1)で等式∫<π/2、π> {xf(sinx)} dx ＝ ∫<0、π/2> {(π－x)f(sinx)} dx (但しf(x)は閉区間［0,1］で連続)を証明しています。 回答よろしくお願いいたします！！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 指数関数と三角関数の積の積分
∫sin(ax)exp{-b(x-c)^2}dx, 積分範囲[-∞, ∞] ∫cos(ax)exp{-b(x-c)^2}dx, 積分範囲[-∞, ∞] これらの定積分はどうやって計算すればいいのでしょうか？ 数値計算ではなくて、不定積分を導いて計算する方法を知りたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の問題・・・難問
こんばんは。今晩済ませなければならないのですが，以下の問題で悩んでいます。 ----------------------------------------------------------- f(x)は実数全体で定義された何回でも微分可能な関数で，f(0)=0, F(π)=0を満たすとする。次の問いに答えよ。 (1) ∫(0→π) f(x) sinx dx = -∫(0→π) f"(x) sinx dx を示せ (2) f(x) = x (x-π) のとき，実数aに対し F(a) = ∫(0→π){af(x) - sinx}^2 dx とする。 aを変化させたとき，F(a)を最小にするaの値を求めよ。 ----------------------------------------------------------- (1), (2)とも方針さえ検討がつきません。 (1)で 置換積分にしても，f(x) が１次式じゃないとできないような…。 問題文の条件の使い方も分かりません。 数学に詳しい方おりましたら，教えてください！ 面倒そうなので，何かヒントみたいな物だけでも書き残して頂けると助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
毎回回答して頂いてありがとうございます！ 参考にします。