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積分の問題

不定積分・定積分に関する質問です! (1-a^2)/(1-2acosx+a^2) (0<a<1) の不定積分 (xsinx)/(1+(cosx)^2)の0~πの範囲で定積分 (sinx)^7の0~π/2の範囲で定積分 がわかりません!どれか一つでも良いので解説お願いします!!

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.1

(xsinx)/(1+(cosx)^2)の0~πの範囲で定積分 これは別のところで質問されていますのでそちらを見てください。 部分積分を使いxの次数をさげ、出てきた積分については対称性から考えます。 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5129902.html (sinx)^7の0~π/2の範囲で定積分 この形(sin or cosの奇数乗)は簡単に計算可能です。 これはcosx=tと置換する。(sinxではない点に注意) ∫(sinx)^7dx=∫(sinx)^6*sinxdx=∫{(sinx)^2}^3*sinxdx =∫{1-(cosx)^2}^3*(-cosx)'dx =-∫(1-t^2)^3dt

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質問者からのお礼

ありがとうございます! sinの方は結構簡単なんですね。

その他の回答 (1)

  • 回答No.2
  • Ae610
  • ベストアンサー率25% (385/1500)

(1-a^2)/(1-2acosx+a^2) (0<a<1) の不定積分 ∫{(1-a^2)/(1-2acosx+a^2)}dx =(1-a^2)/(1+a^2)*∫{1/(1-Acosx)}dx {A=2a/(1+a^2)と置く} おきまりパターンの三角関数→有理関数への変換(tanx/2=tとおく) ∫{1/(1-Acosx)}dx =2/(1-A)∫{1/(t^2+B)}dt {B=(1-A)/(1+A)とおく} 積分を実行して置き換えた記号を戻す。

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