積分の問題

質問

不定積分・定積分に関する質問です!

(1-a^2)/(1-2acosx+a^2) (0<a<1) の不定積分

(xsinx)/(1+(cosx)^2)の0～πの範囲で定積分

(sinx)^7の0～π/2の範囲で定積分

がわかりません!どれか一つでも良いので解説お願いします！！

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

(xsinx)/(1+(cosx)^2)の0～πの範囲で定積分

これは別のところで質問されていますのでそちらを見てください。
部分積分を使いxの次数をさげ、出てきた積分については対称性から考えます。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5129902.html

(sinx)^7の0～π/2の範囲で定積分

この形(sin or cosの奇数乗)は簡単に計算可能です。
これはcosx=tと置換する。(sinxではない点に注意)
∫(sinx)^7dx=∫(sinx)^6*sinxdx=∫{(sinx)^2}^3*sinxdx
=∫{1-(cosx)^2}^3*(-cosx)'dx
=-∫(1-t^2)^3dt

お礼

ありがとうございます！
sinの方は結構簡単なんですね。

回答No.2

Ae610

(1-a^2)/(1-2acosx+a^2) (0<a<1) の不定積分

∫｛(1-a^2)/(1-2acosx+a^2)｝dx
＝(1-a^2)/(1+a^2)*∫｛1/(1－Acosx)｝dx {A＝2a/(1+a^2)と置く｝

おきまりパターンの三角関数→有理関数への変換（tanx/2＝tとおく）
∫｛1/(1－Acosx)｝dx
＝2/(1-A)∫｛1/(t^2+B)｝dt ｛B＝(1-A)/(1+A)とおく｝

積分を実行して置き換えた記号を戻す。