至急！数III！積分

質問

解答がなく、困っています。よろしくお願いいたします。
(1)定積分
I=∫(0→５π)│3sinｘ+2cosｘ│dx
の値。

(2)a>0で
I=∫(0→π/2)│a cosｘ－sinｘ│dxを求め、これを最小とするaの値

(3)ｘ>0で
In＝∫(1→x) t (log t)n乗dt (n=1,2....)とおく

In+1とIn との関係、またI4をもとめよ。

回答No.3

info222_

No.1,No.2です。
つづき
(3)
Inの添え字nが紛らわしいので[n]と書くことにします。→ I[n]

I[n]＝∫(1→x) t (log t)^n dt (n=1,2....)
I[1]=∫(1→x) t log t dt=[(t^2/2)log t ](1→x) -∫(1→x) t/2 dt=(1/2)x^2 log x -(x^2-1)/4

I[2]=∫(1→x) t (log t)^2 dt=[(t^2/2)(log t)^2 ](1→x) -∫(1→x) t log t dt
=(1/2)x^2 (log x)^2 -I[1]
=(1/2)x^2 ((log x)^2 -log x)+(x^2-1)/4

I[3]=∫(1→x) t (log t)^3 dt=[(t^2/2)(log t)^3 ](1→x) -(3/2)∫(1→x) t (log t)^2 dt
=(1/2)x^2 (log x)^3 -(3/2) I[2]
=(1/2)x^2 ((log x)^3 -(3/2)(log x)^2+(3/2)log x) -(3/8)(x^2-1)

I[4]=∫(1→x) t (log t)^4 dt=[(t^2/2)(log t)^4 ](1→x) -2∫(1→x) t (log t)^3 dt
=(1/2)x^2 (log x)^4 -2 I[3]
=(1/2)x^2 ((log x)^4 -2(log x)^3)+3(log x)^2-3log x) +(3/4)(x^2-1) ...(Ans.2)
...
I[n+1]=∫(1→x) t (log t)^(n+1) dt=[(t^2/2)(log t)^(n+1)](1→x) -((n+1)/2)∫(1→x) t (log t)^n dt
=(1/2)x^2 (log x)^(n+1) -((n+1)/2) I[n] ...(Ans.1)

回答No.2

info222_

(2)a>0で
I=∫(0→π/2)│a cosｘ－sinｘ│dx
= ∫ (0→arctan(a)) (a cos x-sin x)dx - ∫ (arctan(a)→π/2) (a cos x-sin x)dx
= [a sin x +cos x](0→arctan(a)) -[a sin x +cos x](arctan(a)→π/2)
=(a^2+1)/√(1+a^2) -1 -a+(a^2+1)/√(1+a^2)
=2√(1+a^2) -1-a
=f(a)とおくと
f'(a)=2a/√(1+a^2) -1=(2a-√(1+a^2))/√(1+a^2)
f'(a)=0とするaは
　2a-√(1+a^2)=0
　4a^2=1+a^2
a>0より　a=1/√3

0<a<1/√3のとき　f '(a)<0 →　f(a)は単調減少
1/√3<aのとき　f '(a)>0　→　f(a)は単調増加
I=f(a)の最小値f(1/√3)=(√3)-1 (このとき a=1/√3)

回答No.1

info222_

>解答がなく、困っています。
解答がなければ作ればいいでしょう。
質問者さんが作ったできるところまでの解答を補足に書いて、
分からない箇所を聞いてください。

(1)
y=f(x)=│3sinｘ+2cosｘ│=(√13)|sin(x-α)|
のグラフを書いてみてください。
そうすれば周期πの周期関数であることに気がつくでしょう。
なので
I=∫(0→５π)│3sinｘ+2cosｘ│dx
=5 ∫(0→π)│3sinｘ+2cosｘ│dx
さらにグラフをx軸の正方向にαだけ平行移動しても
１周期(π)の範囲の定積分は等しいから
I=5∫(-α→π-α)│3sinｘ+2cosｘ│dx
x-α=tとおけば 0<t<πで y=3sin( t+α) +2cos( t+α)=(√13)sin(t) >0となるから
I=5 ∫(0→π) (√13)sin t dt
=(5√13) [-cos t] (0→π)
=10√13

(2)　ヒントだけ
aにより積分区間を２つに分割して絶対値をはずし定積分を求める。

(3) ヒントだけ
部分積分法を使ってI1～I4まで求める。
それらから I_(n+1)と I_nの関係を推測する。