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数学IIIＣ、定積分の問題です。

(1)xの値に関わらず定積分 ∫[-1→1](|t-sinx|+|t-cosx|)dt の値は一定であることを示せ。 (2)xがすべての実数値をとるとき、定積分 ∫[-1→1](|t-sinx|cosx+|t-cosx|)dt の最大値・最小値を求めよ。 わからないのは(2)です。 (1)を使いそうな気がしますが全然わかりません・・・。 至急詳しく教えて頂きたいです。よろしくお願いしますm(._.)m。

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  • gohtraw
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（１）∫｜ｔ－ｓｉｎｘ｜ｄｔ　と　∫｜ｔ－ｃｏｓｘ｜ｄｔ　にわけ、さらに積分区間を 前者：－１からｓｉｎｘ　と　ｓｉｎｘから１ 後者：－１からｃｏｓｘ　と　ｃｏｓｘから１ に分けてやると絶対値が外れるのであとは単なる積分の計算です。結果としてｓｉｎｘ、ｃｏｓｘ、および定数からなる多項式になり、三角関数の関係から定数になるのではないでしょうか。 （２） （１）で得られた多項式を使うと（２）の式はやはりｓｉｎｘ、ｃｏｓｘ、および定数からなる多項式になるのでｃｏｓｘだけ（ｓｉｎｘだけでもいいですが）を含むように書き換え、ｃｏｓｘ＝ｔとでもおいてｔの多項式にします。あとはー１＜＝ｔ＜＝１における増減表を作ればいいと思います。

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質問者からのお礼

詳しい手順、ありがとうございます。 (1)をどのように使えばいいのでしょうか？ また自分でやってみます。 回答ありがとうございました(^O^)

その他の回答 (1)

  • 回答No.1

とても面白い問題ですね。 (1)でも結構な計算量で、さらに(2)は思いつかないと、どつぼにはまりそうな問題ですね。 (2)は(1)と同様な考えでもできると思いますが、計算がとても面倒になるので 参考になれば幸いです。

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質問者からのお礼

ドツボにはまりますよね・・。 お手数をかけて申し訳ありませんでした。

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