積分の問題・・・難問

質問

こんばんは。今晩済ませなければならないのですが，以下の問題で悩んでいます。
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f(x)は実数全体で定義された何回でも微分可能な関数で，f(0)=0, F(π)=0を満たすとする。次の問いに答えよ。
(1) ∫(0→π) f(x) sinx dx = -∫(0→π) f"(x) sinx dx を示せ
(2) f(x) = x (x-π) のとき，実数aに対し F(a) = ∫(0→π){af(x) - sinx}^2 dx とする。
aを変化させたとき，F(a)を最小にするaの値を求めよ。
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(1), (2)とも方針さえ検討がつきません。
(1)で 置換積分にしても，f(x) が１次式じゃないとできないような…。
問題文の条件の使い方も分かりません。

数学に詳しい方おりましたら，教えてください！
面倒そうなので，何かヒントみたいな物だけでも書き残して頂けると助かります。

回答No.2

noname#75273 · ベストアンサー

2003年 - 某国公立大学の入試問題です。
ただの積分の計算問題です。方針だけ

(1)
= - [ f(x) cos x ](0 → π) + ∫(0 → π) f ' (x) cos x dx
さらに計算していくと・・・

(2)
{ a f(x) - sin x }^2 を展開して、
F(a) = a^2 ∫(0 → π) { f(x) }^2 dx - 2a ・・・・（省略）

(1)　∫(0 → π) { f(x) }^2 dx = π^5 / 30
(2)　f(0) = f(π) = 0 で,f ' ' (x) = 2 なので、問1 の結果を用いると、∫( 0 → π ) f( x ) sin x dx = - 4

よって、F(a) は a に関する 2 次式となるので、平方完成で、
a = - 120 / π^5