積分の問題？です。

質問

２次関数 f(x)=x^2 + ax (aは実数)に対し、S(a)=∫0～2 |f ' (x)| dx で関数S（a）を定義する。

関数S(a)　のグラフの概形を描きなさい。

　　　　という問題です。

どうやって解き進めていけばいいのか分かりません。解説お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

f'(x)=2(x+(a/2))より

-(a/2)≦0　即ち　a≧0の時
S(a)=∫[0,2] 2(x+(a/2))dx=[f(x)] [0,2]=f(2)-f(0)=2a+4

0<-(a/2)<2　即ち　-4<a<0 の時
S(a)=∫[0,-a/2] -2(x+(a/2))dx+∫[-a/2,2] 2(x+(a/2))dx
=[-f(x)][0,-a/2]+[f(x)][-a/2,2]
=-f(-a/2)+f(0)+f(2)-f(-a/2)=f(2)+f(0)-2f(-a/2)
=4+2a-2((a^2/4)-(a^2/2))
=4+2a+((a^2)/2)

2≦-a/2 即ち a≦-4 の時
S(a)=∫[0,2] -2(x+(a/2))dx=[-f(x)][0,2]
=-f(2)+f(0)=-2a-4
となります。

グラフにS(a)のグラフを描くと添付図のようになる。

お礼

添付図までありがとうございました。
助かりました。

回答No.1

MarcoRossiItaly

S(a)の前に、次のf'(x)のグラフを考えましょう。

f'(x)=2x+a

ということは、f'(x)とx軸との交点のx座標は、いくつになりますか？
f'(x)=0として求めると、x=-a/2ですね？
また、積分区間は、[0,2]だそうですよ。

ですから、-a/2<=0、0<=-a/2<=2、-a/2>=2といった具合に、場合分けでもしてみたらどうでしょう？

絶対値のグラフを書くとき、曲線（今回のf'(x)は直線ですが）の中で、x軸より下に来る部分が上に折り返されるのでしたね？
つまりその区間では、｜f'(x)｜=-f'(x)となるのですね？
そして元々x軸より上の区間では、｜f'(x)｜=f'(x)となるのですね？

さらに、∫[i,k]fdx=∫[i,j]fdx+∫[j,k]fdxと、1つの区間を2つに分けることもできるのでしたね？

質問者さんの答案を載せてください。

お礼

ありがとうございます。
参考になります。