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積分 証明 問題
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> なぜ、'(ダッシュ)が外れるのですか? 定積分における積分変数というのは,計算し終わった結果消えてしまうので,x' を使おうが x を使おうが,どっちでもいいんです,実際,たとえば ∫[0,1] x dx = 1/2, ∫[0,1] x' dx' = 1/2 って感じです.x であろうが x' であろうが,計算結果に全然関係しませんよね. あと,説明が足りなかったかもしれませんが,「積分の単調性」というのは, 「区間[a,b]上の任意のxに対してf(x) ≦ g(x)」 ⇒ ∫[a,b] f(x) dx ≦ ∫[a,b] g(x) dx という積分の性質のことです.
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度々すみません.書き忘れです. > なぜ、積分範囲が[0,a]となるのでしょうか? x = x' + b と置いたので,元の積分変数 x が b から a+b まで変化するなら, x' = x - b は 0 から a まで変化しますよね.
x = x' + b と置いて,右辺を置換積分します. ∫[b,a+b] f(x) dx = ∫[0,a] f(x'+b) dx' = ∫[0,a] f(x+b) dx. fは単調増加関数なので区間[0,a]上において f(x) ≦ f(x+b) (∵b ≧ 0). したがって積分の単調性より ∫[0,a] f(x) dx ≦ ∫[0,a] f(x+b) dx = ∫[b,a+b] f(x) dx.
補足
ご回答ありがとうございます。 式変形が理解できなかったので、教えて下さい。 ∫[b,a+b] f(x) dx = ∫[0,a] f(x'+b) dx' なぜ、積分範囲が[0,a]となるのでしょうか? = ∫[0,a] f(x+b) dx なぜ、'(ダッシュ)が外れるのですか? ご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m
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