可積分について

質問

f(x) (a≦x≦b)が可積分のとき |∫(a→b)f(x)dx|≦∫(a→b)|f(x)|dxを出来るだけ詳しく示して下さい。
ダルブーの定理辺りの知識はあります。
特に|f(x)|が可積分である事の証明がよく分かりません。
どうかよろしくお願いします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

リーマン可積分条件ですかね。
リーマン可積分条件の同値な表現をどこまで学習しているか、分からないけど、 fが[a,b]で可積分なとき、|f|が可積分であることは、一般に

| |f(x)| - |f(y)| |≦ | f(x) - f(y) |

となるから、任意の分割Δにおいて、S_Δ(f) - s_Δ(f) ≧ S_Δ(|f|) - s_Δ(|f|) となる（過剰和と不足和の差が、|f|の方はfのもの以下となる）ことから、任意の正数εにおいて、S_Δ(f) - s_Δ(f) < εとなる分割Δを取れば（fは可積分だから、このような分割Δがある）、S_Δ(|f|) - s_Δ(|f|) < εとなるから、ここから|f|が可積分となることが分かる。

|∫(a→b)f(x)dx|≦∫(a→b)|f(x)|dx を示すには、一般に |a| = max {a, -a}であることを覚えておくとよい。

|∫(a→b)f(x)dx| = max { ∫(a→b)f(x)dx, -∫(a→b)f(x)dx } = max { ∫(a→b)f(x)dx, ∫(a→b) (-f(x))dx }
∫(a→b)|f(x)|dx = ∫(a→b) ( max { f(x), -f(x)} ) dx

∫(a→b)f(x)dx ≦ ∫(a→b)) ( max { f(x), -f(x)} ) dx , ∫(a→b) (-f(x))dx≦ ∫(a→b)) ( max { f(x), -f(x)} ) dx

から明らか。