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積分可能について
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|f(x)|≦1なのですから有界なのは自明でしょう。 積分可能性ですがルベーグ積分の定義においてはf(x)は積分可能で積分値 は0になります。これは有理数の集合は測度が0であるからです。 しかし、リーマン積分の定義ではたしかに積分可能ではないです。 区間[a,b]をどのように細分化してもその区間において 最大値が1,最小値が0となる(有理数の稠密性より)ためジョルダン 内測度が0、ジョルダン外測度は1となり積分値が定まらないのです。
- connykelly
- ベストアンサー率53% (102/190)
Rieman積分が可能ということは#1のAsanoNagiさんがご回答されているように上積分と下積分が一致することが条件です。 さて、ご質問の関数はディリクレの関数と呼ばれるものですね。ルベーグ積分の話によく出てくる関数と思います。詳細はココ↓を参照ください。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E9%96%A2%E6%95%B0 上積分、下積分↓ http://oshiete1.goo.ne.jp/qa612612.html
- 麻野 なぎ(@AsanoNagi)
- ベストアンサー率45% (763/1670)
∃K ∀x∈[a,b] : |f(x)|<K これは、有界であることの定義であって、証明にはなってない気がします。 さて、積分可能でないことは、「上積分」と「下積分」が一致しないことを示せばOKです。
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