2重積分の定義について

質問

分からなくって困っています。
分かる方がいらっしゃいましたら、是非お願いいたします☆

１．長方形D:=[a,b]×[c,d]で有界な関数f(x,y)が与えら　れている時、fがDで「２重積分可能である」ことの定義　をあたえよ。また、Dが滑らかな曲線で囲まれた図形の場　合の定義も与えよ。

　　…この問いで滑らかな曲線の場合の定義が分かりませ　　　ん（＾＾；

２．長方形D:=[a,b]×[c,d]で連続な関数f(x,y)は２重積　分可能であることを証明せよ

よろしくお願いいたします。

回答No.1

yaksa · ベストアンサー

１． 定義のしかたはたくさんあるんだと思いますが。
長方形上での積分が定義できてるなら、
滑らかな曲線で囲まれた図形Ｄを、内部に含む長方形Ｓを考えて、
Ｓで定義域とする関数g(x,y)を、
g(x,y) = f(x,y)　　 (x,y)∈Ｄ の場合
g(x,y) = 0　　　　　(x,y)∈Ｓ-Ｄ の場合
と定義する。これを使って
「f(x,y)がＤで積分可能」⇔「g(x,y)がＳで積分可能」
て定義するのが一番自然かな。
ただ、滑らかな曲線でなくても定義できてしまうんで、もしかしたら問題の意図する定義とは違うかも。教科書を見てください。

２．
まず、閉集合（コンパクト）な長方形上で、連続なんで有界が言えますね。
それから、１での定義にしたがって計算すればＯＫ。
多分、下から抑えたものの上限と、上から押さえたものの下限が等しい場合積分可能、って定義したのでしょうか。
連続の場合は、微小面積要素の直径が０になる極限で、こいつらが等しくなるってことを言えばＯＫです。Σ とlimitの入れ替えが必要ですね。

お礼

ありがとうございます★
分かりやすい解説で、よくわかりました。
ちなみに、「滑らかな曲線」とは面積確定集合と同一なのでしょうか。