累次積分の積分区間について

質問

領域d ={(x.y)|0≦x≦1,0≦y≦2x}におけるf(x,y)=x+yの重積分を求める場合、まずyから積分するとしたら、積分範囲を0≦y≦2xとすればい いことは分かるのですが、なぜ、2x≦y≦2としたら正しい解答が得られないのでしょうか？どなたか詳しく教えて頂けないでしょうか？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1さんも言われているように重積分する場合は、添付図のように、積分領域

　d ={(x.y)|0≦x≦1,0≦y≦2x}

の図を必ず描くようにしてください。
積分領域は緑に塗り潰した領域で直線y=2xの下側の領域です。

累次積分で先にyから積分する場合は、まず、図のように
　xを固定しyについて0≦y≦2xの積分範囲で積分
します（図の太い黒実線部分）。yで積分後
　xについて 0≦x≦1 の積分範囲で積分
すれば、図の緑で塗り潰した領域全体で積分したことになります。

質問者さんがよくわかっていない積分範囲の設定についての間違いは
図のように
　xを固定しyについて2y≦y≦2の積分範囲で積分
すれば、図の太い水色実線部分の積分範囲で積分していることになります。
yで積分後
　xについて 0≦x≦1 の積分範囲で積分
すれば、図の黄色で塗り潰した領域全体で積分したことになります。
　この積分領域d'は　d'={(x.y)|0≦x≦1,2x≦y≦2}
であり、累次積分の積分領域d
　d ={(x.y)|0≦x≦1,0≦y≦2x}
とは明らかに異なります。問題の累次積分の積分領域dとは異なる積分領域d'で積分しても
正しい結果「4/3」は得られません。

ちなみに、積分領域d'で累次積分すると積分結果は「5/3」となります（勿論間違っています）。

お分かりになりましたでしょうか？

[ポイント]
重積分の場合は、必ず積分領域の図を描いて考えるようにすれば、累次積分で、正しい積分範囲に対応した各変数の積分範囲がわかるでしょう。

お礼

なるほど！大変分かりやすかったです、回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

絵にはしないんですか?

お礼

確かに実際に、絵で書いてみれば分かりやすいですね。やってみます。