楕円積分

質問

次の式を楕円積分として表せという問題なのですがさっぱりわかりません。第一種完全楕円積分、第二種完全楕円積分などを使って表現したいので、s=t^2やsecθなどで置き換えて計算してみたのですが出来ませんでした。似たような例題は何とかできたのですが、、、
よろしくお願いします。

1) ∫[0,∞]f(x)dx、f(x)=1/{s*(s*(a^2+s)(b^2+s))^(1/2)}
2) ∫[0,∞]f(x)dx、f(x)=1/{s*(a^2+s)*(s*(a^2+s)(b^2+s))^(1/2)}
3) ∫[0,∞]f(x)dx、f(x)=1/{s^2*(a^2+s)*(s*(a^2+s)(b^2+s))^(1/2)}
(a,bはともに定数)

回答は
1)の答えは-2E/(a*b^2)
Eは第二種完全楕円積分
になるようです。

回答No.4

Ae610

"英語論文の中で出てきた計算なので私の読み違いが原因かもしれません"

質問に対して、質問で返す事の無礼をお許し願いたいのですが、
その英語論文の出典を教えて頂けないでしょうか？
当方も（興味があるので・・・）調べてみたく存じます。

宜しくお願い致します。

お礼

長々とお付き合い頂き有難うございます。大変参考になりました。
色々とご意見いただき感謝しています。
申し訳ありませんが以前質問した問題では不完全でした。
問題は正しくは以下のようになります。

∫[λ,∞]f(s)ds、f(s)=1/{s*(s*(a^2+s)(b^2+s))^(1/2)}
（楕円関数とのの関係：sn^2(u1)=a^2/(a^2+λ)）
を楕円関数を用いて表す問題で
∫[λ,∞]f(s)ds=2/ab^2*(-E(u1)+tn(u1)*dn(u1))
となるようです。
（このとき、E(u1)=∫[0,u1]dn^2(u) du=incomplete elliptic integral of the second kind.）
λ=0のときで
-2E/(a*b^2)
となるようです。

補足

調べていただけるのは大変うれしいことですがそこまでしていただく事には申し訳なく感じます。
論文は
Engineering fracture mechanics 1971 vol3 pp.71-96
タイトルは
Stress intensity factor for an elliptical crack under arbitrary normal loading
です。

回答No.3

Ae610

1) ∫[0,∞]f(x)dx、f(x)=1/{x*(s*(a^2+x)(b^2+x))^(1/2)}
のみを計算してみたのですが、当方が計算した限りでは、第二種の楕円積分のみでは表す事が出来ず、第一種(完全)楕円積分および第二種(完全)楕円積分を使って表されるような結果になるのですが・・・？

結果のみ表示すると
第一種(完全)楕円積分をF , 第二種(完全)楕円積分をEと表す事にすると、
与式=2/a(a^2-b^2)・｛F-E｝ (・はかけ算の意味)
となるのですが・・・？
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回答は
1)の答えは-2E/(a*b^2)
Eは第二種完全楕円積分
になるようです。
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本当に第二種完全楕円積分表示のみで表されるという事なのでしょうか？

補足

大変申し訳ありませんが計算手法を簡単でかまいませんので教えていただけませんでしょうか？
英語論文の中で出てきた計算なので私の読み違いが原因かもしれません。。。

回答No.2

arrysthmia

ワイエルシュトラス系の楕円積分と
ルジャンドル,ヤコビ系の楕円積分を
相互に変換するためには、
一次分数変換をすると良いです。

回答No.1

gef00675

ｘとｓの関係を、補足してください。

補足

失礼しました。
1) ∫f(s)ds、f(s)=1/{s*(s*(a^2+s)(b^2+s))^(1/2)}
2) ∫f(s)ds、f(s)=1/{s*(a^2+s)*(s*(a^2+s)(b^2+s))^(1/2)}
3) ∫f(s)ds、f(s)=1/{s^2*(a^2+s)*(s*(a^2+s)(b^2+s))^(1/2)}
(a,bはともに定数)
です。積分範囲を[0,∞]とすると1)の答えは-2E/(a*b^2)になるようです。