積分のやり方

質問

∫(1-{(a+b^2/2c)/(a+x^2/2c)})dxって積分できるんでしょうか？
積分区間は0からbまでです。
a,b,cは定数とします。
よろしくお願いします。

回答No.6

Mr_Holland · ベストアンサー

ANo.4/5です。

＞てっきり積分区間も変わるものかと思いました＾＾；
＞arcだから積分区間はそのままでいいということでしょうか？

　不定積分の結果は、積分変数のxで表していますので、積分区間はそのままです。
　不定積分を行う際に確かに変数変換をしていますが、その後で元の積分変数に戻しているので積分区間は変わりません。

　よろしければ参考にしてください。

お礼

非常に参考になりました。
ありがとうございました！

回答No.5

Mr_Holland

ANo.4です。
　補足を拝見しました。

＞定積分では積分区間は一体どうなるのでしょうか？

　積分区間は質問文に書かれている通り　0からbまで　です。

補足

三角関数に置換して解いたんですよね？
てっきり積分区間も変わるものかと思いました＾＾；
arcだから積分区間はそのままでいいということでしょうか？

回答No.4

Mr_Holland

できますよ！
　ANo.2さんの二番煎じで恐縮ですが、被積分関数を変形して、次の不定積分の式を利用してください。

(i) p>0のとき　　∫dx/(x^2+p)dx=(1/√p) arctan(x/√p) +C
(ii) p<0のとき　　∫dx/(x^2+p)dx={1/(2√|p|)} log|(x-√|p|)/(x+√|p|)| +C
(iii)p=0のとき　　∫dx/(x^2+p)dx=-1/x +C
　　（ただし、Cは積分定数）

補足

回答して下さってありがとうございます。
皆さん不定積分で教えてくださっていますが、定積分では積分区間は一体どうなるのでしょうか？

回答No.3

info22_

被積分関数の分数の分子、分母の境がどこか分かりません。
多重に括弧を使って、回答者に分かりやすい式表現、間違って伝わらない式表現、の書き方にして下さい。

補足

∫dx - ∫{ (a + (b^2)/2c) / (a + (x^2)/2c) }dx
です。よろしくお願いします。
積分区間等は質問文、補足の通りです。

回答No.2

R_Earl

{(a+b^2/2c)/(a+x^2/2c)}の部分の不定積分に限ってお話しますが、
a, b, cの値に依って変わると思います。

aやcが正の数で、(a+b^2/2c)が0でなければ、
arctanの形になるはずです。
(arctanx)' = 1/(1 + x^2)から、
∫1/(1 + x^2)dx = arctanx + C
となります。

aが負の数でcが正の数（あるいはaが正の数でcが負の数）、
(a+b^2/2c)が0で無いなら、
部分分数分解を使って解く∫1/(x^2 - 1)dxと同じ形になります。
なのでこの場合はlogを使った形になると思います。
ちなみに
∫1/(x^2 - 1)dx
= (1/2){∫1/(x - 1)dx - ∫1/(x + 1)dx}
= (1/2)(log(x - 1) - log(x + 1)) + C
ですね。

補足

回答してくださってありがとうございます。
a,cともに正です。
bが0<b<2cを満たす実数であるとすると、積分区間はどうなるのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

不定積分できるから, 当然定積分もできる.
きれいな式になるかどうかは知らんが.