定積分の解法

質問

以下の定積分が計算の過程で出てきたのですが、解くことができません。
どうか解法をご享受ください。

∫√(a^2+1-k^2-x^2)dx
積分区間は0から√(1-k^2)で、aとkは定数です。

回答No.2

alice_38 · ベストアンサー

最後に残ったΘについては、
arcsin( √(1-k~2)/√(a~2+1-k~2) )
とでも書いておくしかありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
高校数学の範囲では解けそうにありませんね＾＾；
度重なる質問にお答えいただきありがとうございました。

回答No.1

alice_38

b = √(a~2+1-k~2) と置けば、見やすくなる
と思います。
x = b sinθ で置換して、cos の半角公式
を使えば、容易に求積できます。
積分範囲が、θ の区間としては
キレイに表示できないので、
区間の上端を Θ とでも置いておいて、
後で sinΘ = √(1-k~2)/√(a~2+1-k~2)
から整理することになります。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
その置換積分の仕方は思いついていたのですが、
xが0→√(1-k^2)と動く時θが0からどこまで動くかが求められず
詰まっていました。
ご指摘の通り一端上端をΘとおいて計算を進めてみたところ、

∫√(a^2+1-k^2-x^2)dx (xは0→√(1-k^2) )
=∫√(a^2+1-k^2)(1-sin^2θ)√(a^2+1-k^2)dθ
　　 (θは0→Θ、ただしsinΘ=√(1-k^2)/√(a^2+1-k^2))
=(a^2+1-k^2)∫cos^2θdθ
=(a^2+1-k^2)∫(1+cos2θ)/2dθ
=(a^2+1-k^2)[θ/2+sin2θ/4] (θは0→Θ)
=(a^2+1-k^2)(Θ/2+sin2Θ/4)
となりました
sin2Θ/4は倍角の公式でsinΘ=√(1-k^2)/√(a^2+1-k^2)から
求められますが、Θ/2が残ってしまい計算が進められません。
度々申し訳ありませんがこの点についてお教えください。