積分が解けない！∫(1/x)*e^(ibx)dx の解法とは？
- 積分区間が-∞から∞の場合、積分 ∫(1/x)*e^(ibx)dx の解法は部分積分を繰り返し使用する方法です。
- まず、部分積分を1回行うと [(1/x)*(1/ib)*e^(ibx)] - (1/ib)∫(-1/x^2)*e^(ibx)dx となります。
- さらに、部分積分を繰り返し行い、一般化した式 {(n/(ib)^n)∫(1/x^(n+1))*e^(ibx)dx} を得ることができます。
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積分が解けません…
∫(1/x)*e^(ibx)dx （積分区間：-∞ → ∞） という積分が解けません。(iは虚数単位、bは定数です) 部分積分を繰り返し使って以下のように計算してみたのですが、そこから先へ進めません。この方向で正しいのでしょうか？ ∫(1/x)*e^(ibx)dx = [(1/x)*(1/ib)*e^(ibx)] - (1/ib)∫(-1/x^2)*e^(ibx)dx = (1/ib)∫(1/x^2)*e^(ibx)dx = {2/(ib)^2}∫(1/x^3)*e^(ibx)dx = …… = {n/(ib)^n}∫{1/x^(n+1)}*e^(ibx)dx
- ama_gin
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この積分は不定積分が簡単な関数で表すことが不可能ですので、不定積分を求めてから定積分を求めることができません。 そもそもx=0で一位の極があるので積分が収束しないはずです。 つまり、積分範囲をtから∞としてｔを０にしたときの積分（の絶対値）の極限値が∞になります。 ですから普通の意味の積分はできないというのが答えであろうと思います。 積分の主値ならば、求めることができます。これには留数を使うのが普通です。 主値とか留数がわからなければ、この積分はできないと考えてもらってさしつかえありません。
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お礼
言われてみれば、確かに発散してしまいますね。 ありがとうございました。