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広義積分の証明

aを実数とし、nを自然数とする。このとき ∫(0→∞) (x^n)*(e^-ax) dx = n!/a^(n+1) が成り立つことを示せという問題があります。 （私の解答） In = ∫(0→∞) (x^n)*(e^-ax) dx とおくと、 In = [ (-(x^n)/a)*(e^-ax) ](0→∞) + n/a∫(0→∞) (x^(n-1))*(e^-ax) dx = n/a*I(n-1)となる。 ここで、Io = [ (-1/a)*(e^-ax) ](0→∞) = 1/aより In = n/a*I(n-1) = (n/a)*(n-1)/a*…*(1/a)*Io = (n!/a^n)*(1/a) = n!/a^(n+1) よって成り立つ。 2行目の広義積分[ (-(x^n)/a)*(e^-ax) ](0→∞)について、私はおそらく0になるだろうと思い、その部分を0と置いて計算しています。しかし[ (-(x^n)/a)*(e^-ax) ](0→∞) = 0 は本当に成り立つのでしょうか？ その証明の仕方が分からず困っています。分かる方がいましたら解説のほうよろしくお願いします。

みんなの回答

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

[ (-(x^n)/a)*(e^-ax) ](0→∞) が意味するものをくみ取って処理する. もちろん答えは 0.

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