積分問題の解法

質問

添付画像の積分の解き方がわからないのですが、解法を教えてください。
（dg(x)=g'(x)dxとおくことまではわかりますが、それ以降がわかりません。）

回答No.4

info33

No.3です。

ANo.3で回答したように
∫ [0, ∞] x^2 dg(x)
の積分範囲[0, ∞] が dg(x)のg(x) の範囲と解釈するのが一般的常識ですが
そうすると積分範囲[0, ∞] がg(x)の値域(-∞, 1)の範囲外の範囲の積分区間[1, ∞]を含むために実数xの範囲での積分としては, g(x)が存在しない (未定義と なる) ために積分が不可能となってしまう。

問題作成者の意図が
∫ [0, ∞] x^2 g'(x) dx (xが積分変数)
であるならば,
すなわち, dx の変数xの区間 (変域) が積分区間 [0, ∞] であるならば, g'(x)=2e^(-2x) なので
∫ [0, ∞] x^2 g'(x) dx=∫ [0, ∞] 2x^2 e^(-2x) dx
=[-(x^2+x+1/2)e^(-2x)][0, ∞]
=0-1/2
=1/2
となり積分が計算できます。

回答No.3

info33

y=g(x)=1-e^(-2x) (), dg(x)=dy=g'(x) dx, g'(x)=dy/dx=2e^(-2x),
e^(-2x)=1-y, -2x=ln (1-y), x= -(1/2) ln(1-y),
単調増加関数 g(x)のxの定義域(-∞, ∞) に対する y=g(x) の値域は
(-∞, 1) であるから
求める積分の積分範囲 (0, ∞) は未定義範囲(1,∞)を含む為,
実数範囲での定積分は不可能である。

回答No.2

178-tall

↓　参考URL / 瞬間部分積分のやり方
をご覧ください。

参考URL：

https://mathtrain.jp/syunkan

回答No.1

noname#232123

g(x)=Xとおけば、
(与式)=∫[0~1]x^2*2*e^(-2x)dx
=[(-x^2-x-1/2*e^(-2x)]=(1/2)*{1 - 5/e^2).
となりました。(置換積分を実行しています)

お礼

計算してもらってすみませんが、解答は1/2なので違うようです。