この積分の求め方を教えて下さい。お願いします。

質問

こんにちは、式を打つことができなかったため、添付の通り、手書きで失礼します。

もともとは物理の問題だったのですが、答えを求める最終工程での積分でつまづいており、
何とか解法を教えていただけないかと思いました。

二問ありまして、両方とも式の基本的な骨格は似ているのですが、もしかしたら解法はことなるのかも知れません。

Q１は、「いつのまにやら」解けてしまいました。　u = (x^2 + a^2)として、置換積分を始めたところ、
インテグラルの中身が二つの関数、片方はx、もう片方は(x^2 + a^2)^(-3/2)でありまして、xが
uをxについて微分したもので表せることに気付きました。つまりdu/dx = 2x したがって、xは(1/2) du/dx
これをインテグラルの中に代入すると、du/dx とdxが中に存在することになり、duで表されてしまいました。すると後は、uについて積分してあげれば答えは出てしまいました。確かに求めた答えはあっているのですが、一体どういった定理・公式を使ったのか、偶然できただけなのか、解いた本人が理解しておりません。どうか、お教え頂ければと思います。

Q2は、途中でつまづいています。そのため、途中の経過も正しい道に進んでいるのかわからなくなってしまいました。基本的には置換積分を使っています。ところが、u = (x^2 + a^2)として置換作業をしようとしても、xが二乗であるため、シンプルにxをuの関数で表すことができません。
本来は、∫f(u) dx/du du と置換積分の公式に乗せたいところですが、dx/duがシンプルに求まりません。つまり、u = (x^2 + a^2)をuについて微分すると、1 = 2x dx/du + 0 となり、dx/duがuの関数に収まってくれません。このため、∫f(u) dx/du du = ∫u^(-3/2) (1/2x) duとなり、インテグラルの中身がまだ二つの文字が含まれ、ここで計算が止まってしまいました。どうか、解法のヒントを与えて頂ければと思います。

この文章や添付で式が見辛いことがあるかと思いますが、すみません。
その際はご指摘頂ければ書き直します。

以上の二点について、どうか宜しくお願い致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

xがついている場合と付いていない場合の積分は全く違いますので
同じ置換積分の公式を無理やり当てはめてもうまくいきません。

(1)は
　u = (x^2 + a^2)
で置換積分するなら
uの全微分を取るのが普通です。つまり
　du=2xdx
なので
　xdx=(1/2)du
　(x^2 + a^2)^(-3/2)=u^(-3/2)
したがって
　x(x^2 + a^2)^(-3/2) dx=(x^2 + a^2)^(-3/2) xdx
x(x^2 + a^2)^(-3/2) dx=(1/2)u^(3/2)du
両辺の積分をとって
　∫x(x^2 + a^2)^(-3/2) dx=∫(1/2)u^(3/2)du
と置換積分完了です。これ以降は質問者さんの解答通りです。

(2)
　積分は往々にして過去の先人たちが見つけた解法が積重なって定石となっているものが多いですから多くの積分の公式や解き方の例題により多く接して覚えるしかありません。

被積分関数だけ取り出すと
(x^2 + a^2)^(-3/2)=(1/a^2){(x^2+a^2)-x^2}/(x^2+a^2)^(3/2)
　=(1/a^2)[(x^2+a^2)/(x^2+a^2)^(3/2) -(x^2)/(x^2+a^2)^(3/2)]
　=(1/a^2)[1/(x^2+a^2)^(1/2) + x*(-x)/(x^2+a^2)^(3/2)]
　=(1/a^2)[(x)'/(x^2+a^2)^(1/2) +x{1/(x^2+a^2)^(1/2)}']
公式:(uv)'=u'v+uv'にu=x,v=1/(x^2+a^2)^(1/2)を適用すると
　=(1/a^2)(uv)'=(1/a^2){x/(x^2+a^2)^(1/2)}'
したがって
∫(x^2 + a^2)^(-3/2) dx=(1/a^2)∫{x/(x^2+a^2)^(1/2)}' dx
　=x/(x^2+a^2)^(1/2) +C
となります。

（式を良く観察し微分公式を当てはめることに気が付けば、このような被積分関数の変形が見つかるのでしょう。積分のやり方を覚えるしかないですね。）。

お礼

すごい・・・
ありがとう御座います。

経験と勘がそうさせるのかもしれませんが、この解法がすんなり出てくるものなのでしょうか？
どういった思考回路からこの解法が生まれるのか、後学のため教えていただければと思いますが、どうでしょうか。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の補足質問について

>経験と勘がそうさせるのかもしれませんが、この解法がすんなり出てくるものなのでしょうか？
微分と積分は表裏の関係にあります。微分の習熟（分数関数の微分公式がすんなり使えること）や部分分数展開の基礎がちゃんと出来ていればすんなり出来るでしょう。

>どういった思考回路からこの解法が生まれるのか、後学のため教えていただければと思いますが、どうでしょうか。
積分の基礎は微分法です。微分の仕組みや概念をちゃんと理解していれば、特別な思考はいらないでしょう。色々な合成関数や関数の積や関数の分数の微分法を頭に叩き込んでいれば難なく思いつく解法ですね。

お礼

ありがとう御座います。色々と練習問題を解いて鍛錬したいと思います。

回答No.1

Tacosan

積分全体は書けなくても, 被積分関数くらいは書いた方がいいと思うよ.

Q1 は自身で言われているように置換積分. Q2 は「x^2+a^2 が簡単になればいい」ということから双曲線関数を使って x = a sinh t と置換するのが常套手段でしょうか.

お礼

回答ありがとうございます。ちょっと私には双曲線関数というのがよくわからず、また、x = a sinh t　が、計算過程の中でどう使われてどう変形していくのか分かりません。

すみません。