微分、積分の一般化

質問

微積分の一般化について、
dを差分演算子として
df(x):=f(x+h)-f(x)
と定めれば、普通の微分は
df(x)/dx=(f(x+h)-f(x))/hで普通の定義と一致し、xを任意のg(x)とすることで、
df(x)/dg(x)=(f(x+h)-f(x))/(g(x+h)-g(x))として微分を一般化でき、積分についても
∫を差分演算子の逆、総和演算子として定めれば
∫f(x)dxの微分を考えたとき
d∫f(x)dx/dx=f(x)dx/dx=f(x)
として通常の微分と一致し
∫f(x)dg(x)=∫[f(x)dg(x)/dx]dx=∫[f(x)*g'(x)]dxとして一般化できますよね？
さらにこの定義なら連鎖律などを簡単に計算できますよね？
これは微積分の一般化になりますか？
それとこの定義の仕方について触れているweb等があれば教えてください

回答No.2

localesrp

差分という言葉はご存じのようですので、ある程度検索等は既にされていると思います。
その上でのご質問と言うことですので、ご希望に添える内容となっているかは自信がないのですが、
https://www.amazon.co.jp/%E5%BE%A9%E5%88%8A-%E5%B7%AE%E5%88%86%E3%83%BB%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F-%E6%9D%89%E5%B1%B1-%E6%98%8C%E5%B9%B3/dp/4320016254
あたりをご紹介しておきます。

回答No.1

jcpmutura

Δf(x):=f(x+dx)-f(x)
と定めると
例えば
f(x)=x^2
の時
Δf(x)=(x+dx)^2-x^2=2xdx+(dx)^2=(2x+dx)dx
Δf(x)/dx=2x+dx=f'(x)+dx=(df(x)/dx)+dx≠df(x)/dx
|(Δf(x)/dx)-(df(x)/dx)|=|dx|≠0
だから
Δf(x)/dx≠df(x)/dx
Δf(x)/dxは普通の微分定義df(x)/dxと一致しません。

f(x)の普通の微分df(x)/dx=f'(x)を定義した後に
df(x):=f'(x)dx
とdf(x)を定めれば
df(x)/dx=f'(x)と一致します