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微分、積分の一般化
微積分の一般化について、 dを差分演算子として df(x):=f(x+h)-f(x) と定めれば、普通の微分は df(x)/dx=(f(x+h)-f(x))/hで普通の定義と一致し、xを任意のg(x)とすることで、 df(x)/dg(x)=(f(x+h)-f(x))/(g(x+h)-g(x))として微分を一般化でき、積分についても ∫を差分演算子の逆、総和演算子として定めれば ∫f(x)dxの微分を考えたとき d∫f(x)dx/dx=f(x)dx/dx=f(x) として通常の微分と一致し ∫f(x)dg(x)=∫[f(x)dg(x)/dx]dx=∫[f(x)*g'(x)]dxとして一般化できますよね? さらにこの定義なら連鎖律などを簡単に計算できますよね? これは微積分の一般化になりますか? それとこの定義の仕方について触れているweb等があれば教えてください
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- localesrp
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差分という言葉はご存じのようですので、ある程度検索等は既にされていると思います。 その上でのご質問と言うことですので、ご希望に添える内容となっているかは自信がないのですが、 https://www.amazon.co.jp/%E5%BE%A9%E5%88%8A-%E5%B7%AE%E5%88%86%E3%83%BB%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F-%E6%9D%89%E5%B1%B1-%E6%98%8C%E5%B9%B3/dp/4320016254 あたりをご紹介しておきます。
- jcpmutura
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Δf(x):=f(x+dx)-f(x) と定めると 例えば f(x)=x^2 の時 Δf(x)=(x+dx)^2-x^2=2xdx+(dx)^2=(2x+dx)dx Δf(x)/dx=2x+dx=f'(x)+dx=(df(x)/dx)+dx≠df(x)/dx |(Δf(x)/dx)-(df(x)/dx)|=|dx|≠0 だから Δf(x)/dx≠df(x)/dx Δf(x)/dxは普通の微分定義df(x)/dxと一致しません。 f(x)の普通の微分df(x)/dx=f'(x)を定義した後に df(x):=f'(x)dx とdf(x)を定めれば df(x)/dx=f'(x)と一致します
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