• 締切済み

二重積分の微分（統計より）

統計のＲＡＮＧＥの分布の関数を求める際に、二重積分の微分が含まれています。 通常の定積分の微分（積分を上端の変数で微分するとき） F´(x)=f(x)のとき d/dx∫f(t)dt（範囲は下端は定数a,上端はx）の時 ⇒d/dx[F(x)-F(a)]=d/dxF(x)（∵d/dxF(a)=0）=f(x) となることはわかります。 これが二重積分の場合　u0≦u≦v0、u≦v≦v0（u≦vの条件下）とするときの関数g(u,v）の二重積分の微分は（u0とv0は任意の値なので,v0を固定して,u0に対する微分を行う） d/du0∬g(u,v)dvdu=∫g(u0,v)dvとなりその下端、上端は(u0,v0)となっています。 (1)まず、二重積分の微分法に関して何か情報があればご教示いただけますでしょうか（例：積分の上端の変数で微分するときの公式等） (2)次に、上記の二重積分の微分に対する解答方法をご教示いただけますでしょうか（特に微分した後の積分の下端が（u,v0）から（u0,v0）になるのがよくわかりません） 以上、よろしくお願いいたします。

みんなの回答

  • rabbit_cat
  • ベストアンサー率40% (829/2062)
回答No.1

∂/∂v(G(u,v)) = g(u,v) ∂/∂u(G2(u,v)) = G(u,v) ∂/∂u(G3(u)) = G(u,u) と置けば、 ∬g(u,v)dvdu =∫_[u0→v0](∫_[u→v0] g(u,v)dv)du =∫_[u0→v0](G(u,v0)-G(u,u))du =G2(v0,v0)-G2(u0,v0) - ( G3(v0)-G3(u0) ) ですから、 d/du0∬g(u,v)dvdu = d/du0(G3(u0)) - d/du0(G2(u0,v0)) = G(u0,v0)-G(u0,u0) = ∫_[u0→v0] g(u0,v)dv になりますね。

153863
質問者

お礼

早々のご回答、ありがとうございます。 一度二重積分を展開してから、それを微分して、最初に設定した偏微分をもとにして戻すのですね。大変よくわかりました。 よろしければ、この解法が載っている参考書またはサイト等があればご教授いただきたいと思っております。

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