定積分と面積・・

質問

「曲線C:x^3-x^2とCに接する異なる直線L,Mがある。CとLとで囲まれた部分の面積と、CとMとで囲まれた部分の面積とが等しいとき、LとMとは平行であることを示せ」という問題の解説で「f(x)=x^3-x^2とおくとf'(x)=3x^2-2xであるから曲線C上の点(α,α^3-α^2)における接線の方程式はy=(3α^2-2α)(x-α)+α＾3-α^2　∴y=(3α^2-2α)x-2α^3+α^2この右辺をg(x)とおくと、f(x)-g(x)=x^3-x^2-(3α^2-2α)x+2α^3-α^2=(x-α)^2(x+2α-1) β=1-2αとおくと　f(x)-g(x)=(x-α)^2（x-β) でえあり、CとLとで囲まれた部分の面積S1は　β≦αのとき、S1=∫｛f(x)-g(x)｝dx （定積分の区間は下端β、上端α）　　α≦βのとき、S1=∫｛g(x)-f(x)｝dx （定積分の区間は下端α、上端β）・・・・・」と続いていくのですが「CとLとで囲まれた部分の面積S1は　β≦αのとき、S1=∫｛f(x)-g(x)｝dx （定積分の区間は下端β、上端α）　　α≦βのとき、S1=∫｛g(x)-f(x)｝dx （定積分の区間は下端α、上端β）」のところのいみがわかりません・・　　教えてください！！

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

S1＝∫|g(x)-f(x)|dx（下端α、上端β）
となるのは分かりますか?
以前にも別の質問で説明したように絶対値が付いたままでは積分が出来ません。だから絶対値をはずさなければいけません。
絶対値をはずすには中身の正負が分からなければいけません。
中身の正負が分かるにはf(x)とg(x)のうちどちらが大きいかを知る必要があります。
つまり、f(x)とg(x)の大小を知りたいのです。これがわかれば、絶対値がはずせ、積分が出来ます。

β≦αのとき、g(x)≦f(x)となることについて
これは実際に図を書いてみる方が分かりやすいと思います。
まずy=f(x)のグラフをおおざっぱでいいので書いて下さい。次に極小のあたりに接するように接線を引いて下さい。すると、接線とグラフの交点(β)は接点(α)よりも左にありますね。つまり、β≦αです。この時、接線の方が下を通っています。だから、g(x)≦f(x)となります。
接点を極小のあたりにとると書きましたが変極点より、右側ならＯＫです。

α≦βのとき、f(x)≦g(x)となることについて、
これも同じように極大のあたりで接する接線を引くと接点よりも右側に交点があります。だから、α≦βとなり、このとき、接線の方が上にあるのでf(x)≦g(x)となります。
これも、変極点より左側ならＯＫです。

変極点とはy=f(x)を2回微分して、得られた方程式が0となる点です。3次関数の場合は極大と極小の中点です。(3次関数の場合はこの点でいつか話した点対称となります)
ちなみに、この点で接する場合f(x)-g(x)=0は三重解を持ちます。

お礼

ありがとうございました！！　わかりました！！毎回毎回本当に有難うございます！！