面積です・・

質問

「曲線y=x^3-5x+3と曲線上の点(t,t^3-5t+3)における接線とで囲まれる部分の面積が27/4のときtの値をもとめよ。」という問題の解説で「｜∫(x-t)^2(x+2t)dx　(定積分の区間は下端-2t,上端t)｜=∫(x-t)^2(x+2t)dx (定積分の区間は下端-2t,上端t)である。」とあったのですが・・t<-2tのときも-2t<tとまとめてかんがえてもいいのですか？それはなぜでしょうか？それに、接線の方程式y=(3t^2-5)x-2t^3+3を曲線y=x^3-5x+3からひいたり、接線の方程式y=(3t^2-5)x-2t^3+3から曲線y=x^3-5x+3をひいたりとやってめんせきをだすのでは・・?　　教えてください！！お願いします！！

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

こんにちは！
とてもいいところに着眼されていると思います。

＞接線の方程式y=(3t^2-5)x-2t^3+3を曲線y=x^3-5x+3からひいたり、接線の方程式y=(3t^2-5)x-2t^3+3から曲線y=x^3-5x+3をひいたりとやってめんせきをだすのでは・・?

そのとおりです。
まず、
y=x^3-5x+3=f(x)と、おきましょう。
ｘ＝ｔにおける微分係数はｆ’（ｔ）ですから
f'(x)=3x^2-5
f'(t)=3t^2-5となるので、点（t,t^3-5t+3)における接線の方程式は
y-f(t)=f'(t)(x-t)ですよね。これを整理して、
y=(3t^2-5)x+(-2t^2+3)・・・・・・接線の方程式

y=f(x)が、接線にｘ＝ｔで接するということは、
f(x)=(3t^2-5)x+(-2t^2+3)この方程式が、ｘ＝tという重解を持つ。
x^3-5x+3=(3t^2-5)x+(-2t^2+3)
x^3-3t^2x+2t^3=0
(x-t)^2(x+2t)=0とかけます。

これは、ｘ＝ｔで接することと、もう一つの交点のｘ座標がｘ＝－２ｔであることを示しています。

ここで、グラフをかいてみるといいのですが、
－２ｔ＜ｔのとき、すなわち接線がｙ＝ｆ（ｘ）よりも下側にくるとき
面積は∫(x-t)^2(x+2t)dt←ただし、積分区間はｘがー２ｔからｔまで

ｔ＜－２ｔのとき、すなわち接線がｙ＝ｆ（ｘ）よりも上側にくるとき
面積は∫(x-t)^2(x+2t)dt←ただし、積分区間はｘがｔからー２ｔまで

となります。
これらをあわせたカタチが
｜∫(x-t)^2(x+2t)dx　(定積分の区間は下端-2t,上端t)｜
なので、これで正しいのです。

やはりグラフから考えたほうが、すっきりすると思います。
がんばってくださいね！！

お礼

ありがとうございました！大変参考になりました！お礼が遅れてしまいまして本当にすみませんでした。

回答No.1

eatern27

｜∫(x-t)^2(x+2t)dx　(下端-2t,上端t)｜の絶対値をはずす事を考えます。
絶対値の中見、つまり、∫(x-t)^2(x+2t)dx　(下端-2t,上端t)の正負を調べます。
-2t<tの時
-2t<x<tにおいて、
0<x+2t<3tとなります。また、(x-t)＾2>0ですから、
(x-t)^2(x+2t)>0となります。
だから、y=(x-t)^2(x+2t)は常にx軸の上にあります。だから、
｜∫(x-t)^2(x+2t)dx　(下端-2t,上端t)｜=∫(x-t)^2(x+2t)dx　(下端-2t,上端t)
t<-2tの時
t<x<-2tにおいて
3t<x+2t<0となります。また、(x-t)＾2>0ですから、
(x-t)^2(x+2t)<0となります。
だから、y=(x-t)^2(x+2t)は常にx軸の下にあります。ここで、-2t>tですから、積分の範囲は大きい方から小さい方へ積分しています。(小さい方から大きい方へ積分した場合の-1した値になります。(x-t)^2(x+2t)<0、dx<0だから、
｜∫(x-t)^2(x+2t)dx　(下端-2t,上端t)｜=∫(x-t)^2(x+2t)dx　(下端-2t,上端t)

＞接線の方程式を曲線からひいたり、・・・面積を出すのでは?
曲線から接線の方程式を引いて求めています。
{x^3-5x+3}-{(3t^2-5)x-2t^3+3}を変形します。
y=x^3-5x+3とy=(3t^2-5)x-2t^3+3はx=tで接します。だから、(x-t)^2の項を持ちます。だから、
{x^3-5x+3}-{(3t^2-5)x-2t^3+3}=(x-t)^2(x-α)と変形でいるはずです。この両辺を展開して整理すると
x^3-3t^2x+2t^3=x^3-(2t+α)x^2+(t^2+2tα)x+t^2α
となります。これは恒等式ですからx^2、xの係数と定数項を比べて
0=2t+α、-3t^2=t^2-2tα、2t^3=t^2α
となり、ここから、
α=-2tと出てきます。
x^2、xの係数が等しくなるのは当然なので、(場合によっては)定数項を比べるだけでいいです。
つまり、
{x^3-5x+3}-{(3t^2-5)x-2t^3+3}=(x-t)^2(x+2t)
と変形できます。

お礼

ありがとうございました！お礼が大変遅れてしまいすみませんでした。