媒介変数表示の曲線の面積について

質問

媒介変数表示の曲線で囲まれた面積は媒介変数で変数を微分し置換積分で面積を求めますが、媒介変数を消去した式が関数でないものについて解法の確認をしたいです

変数をx,y、媒介変数をt(α≦t≦β)
x,yはtの関数

x,yの式をtで微分
xの増減が変わるtの値γを求める
x,yの方程式を関数y1=y(α≦t≦γ),y2=y(γ≦t≦β)に分ける
y1とy2の上下関係から積分の式を立てる
xをtの式で置換
y1,y2をyに戻す…A
yもtの式で置換
積分

だいたいこんな流れですがAでyに戻せる理由がわかりません
yはxに対しては区間によっては関数ではないが、tに対しては関数であるから、という理解で大丈夫でしょうか

また、∫内に(dx/dt)dtのようにdxとdtがある場合、積分区間はあくまでdtのような単体である方によるものと考えるのですか

それと、媒介変数表示ですでに関数でない場合（があるのかわからないのですが）は上記の解法も使えないということになりますか

というかそもそも置換積分は特に何も考えずにtとかで置換してしまってもいいのか？？？と沼にはまっています

かなりとばして書いてしまいました
誤用や誤認識があったらご指摘お願いします
数三についての質問ですが範囲外の知識の回答でも構いません
回答お願いします

回答No.1

bran111

質問が具体性を欠き、誤解も根有しているようです。

http://mathtrain.jp/sevencurve

から具体例について質問してください。