※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：置換積分における置換演算について）
置換積分における置換演算について
このQ&Aのポイント
f(x)に対する積分式において、置換積分を行うために変数の置換式を立てます。変数をtとおくと、t^2 = x-5の置換式が得られます。
tで微分すると2t・dt = dxという変換式が得られますが、xで微分するとdt^2 = dxという変換式が得られます。しかしこの変換式は誤りであり、t・dt = dxという変換式が正しいです。
置換積分の説明では、dxをdtで置換する方法が「あたかも分数の掛け算をするように」求められると説明されることがありますが、この部分の説明が明確でないことが問題とされています。
f(x)に対する積分式について、計算のため、
t^2 = x-5
とおく変数の置換式を立てました。
この時、両辺をtで微分すると、
2t = dx / dt → 2t・dt = dx という変換式ができます。
一方、両辺をxで微分すると、
dt^2 / dx = 1 → dt^2 = dx という変換式ができます。
ここで、dt^2 = t・dtとみなして t・dt = dx という変換式として使っては「いけない」明確な説明は、どのようなものになるでしょうか? (t^2という文字を更に別の文字に置換する必要がありますが、高校の数学教科書ではこのあたりが明確に示されていないようです。)
(置換積分の変換式の説明の際、「dx→dt」の置換方法は、合成微分の絡みから、「あたかも分数の掛け算をするように」求められると解説されることがあるようですが、その説明ではこの部分の説明がうまくできません。)
よろしくおねがいいたします。
お礼
確かに、tはxの関数ですね。理解できました。