置換積分法

質問

∫x(3x-2)^3 dx を(t=3x-2)の置換により、この不定積分を求めます。

x=(1/3)t + (2/3)であるから dx/dt=1/3
それで、
∫x(3x-2)^3 dx=∫(1/3)(t+2)t^3×(1/3)dt
この式変形が分かりません・・・。

「∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt [x=g(t)]
の公式を使ってるのかなぁ・・・とも思いつつうえのようには出来ません。

ちなみにdx/dtっていうのはdxをdtで微分しますって意味でしたよね・・・？　このdってのは「微分します」ってことでしょうか・・・?　いつもあまり意味なく形式的に書いてしまっていたので・・・　おねがいします。

回答No.1

hika_chan_ · ベストアンサー

x=1/3t+2/3 ここはOKですか？？→1/3でくくります
x=1/3(t+2) くくっちゃいました。

dx/dt x=○○tっていう式をtで微分しますという意味よくy'ってやっているやつはdy/dxと同じもの

で、くくる前のやつを微分しましょうか。(わかりやすいので)
dx/dt=1/3 普通に微分しただけ
dx=1/3dt なんと、両方にdtをかけられるんです。

あとはわかりますよね？

お礼

なるほどx=1/3(t+2)これは括っただけだったんですね。これに気付かず式の意味が分かりませんでした。
あ、あとdx/dtの意味についても有難うございました。それで２個目の式の後半部の意味も理解することが出来ました!!!　すごい分かりやすい説明有難うございました。教科書にこういうこともちゃんと書いてあれば悩むこともないんだけどなぁーとも思いますけど。