微分方程式

質問

こんにちは。微分方程式の問題が解けなくて困っています。

次のx(t)に関する微分方程式
d^2x/dt^2=-1/x^2
ただし初期条件はt=0でx=X0(x0>0）,dx/dt=√２であるとする。

(1)　与式の両辺にdx/dtを乗じて積分することにより、初期条件を満たすxについての1階微分方程式をもとめよ。
必要ならば、公式d/dt(dx/dt)^2=2*(dx/dt)*(d^2x/dt^2)

(2)0<x0<1のときt(t≧0)餓変化した場合のx(t)の最大値を求めよ。

(1)は与式の両辺にdx/dtをかけて
dx/dt(d^2x/dt^2)=-1/x^2*(dx/dt）
与えられた公式をつかい
(1/2)*d/dt*(dx/dt)^2=-dx/dt*(1/x^2)
(1/2)*d/dx*(dx/dt)^2=-(1/x^2)
両辺xで積分すると
(dx/dt)^2=2/x+2(1-1/X0)(初期条件より）

(2)
は
dt/dxが0すなわち1/xが-(1-1/X0）のときかとおもったのですが
よくわからないです。
どなたかおねがいします。。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

> (1/2)*d/dt*(dx/dt)^2=-dx/dt*(1/x^2)
(1/2)*d/dt*(dx/dt)^2=d/dt*(1/x)
> (1/2)*d/dx*(dx/dt)^2=-(1/x^2)
> 両辺xで積分すると
両辺をtで積分すると
(1/2)(dx/dt)^2=(1/x)+C…(A)
t=0とおくと
(1/2)2=1/x0+C
C=1-(1/x0)
(A)に代入
(1/2)(dx/dt)^2=(1/x)+1-(1/x0)…(B)
dx/dt=0となる時、t=tm、x=xmとおくと、
t=tmの時
1/xm=(1/x0)-1=(1-x0)/x0
xm=x0/(1-x0)…(C)
d^2x/dt^2(t=tm)=-1/xm^2<0
従ってt=tmでx(t)は上に凸 …(D)
(B)のグラフを横軸にx,縦軸にy=dx/dtをとって（yを変化させてxをプロットする陰関数のグラフとして）描くと
0<x0<1の下で、dx/dt=0になるときxは(C)の最大値xmをとることが分かる。
このときのtがt=tm（≧0)で
(D)から最大（正確には（D)だけでは極大値の条件）を満たすt=tmが
存在していることが分かる。

お礼

なるほど～～。
わかりました！ありがとうございました。