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微分方程式

こんにちは。微分方程式の問題が解けなくて困っています。 次のx(t)に関する微分方程式 d^2x/dt^2=-1/x^2 ただし初期条件はt=0でx=X0(x0>0),dx/dt=√2であるとする。 (1) 与式の両辺にdx/dtを乗じて積分することにより、初期条件を満たすxについての1階微分方程式をもとめよ。 必要ならば、公式d/dt(dx/dt)^2=2*(dx/dt)*(d^2x/dt^2) (2)0<x0<1のときt(t≧0)餓変化した場合のx(t)の最大値を求めよ。 (1)は与式の両辺にdx/dtをかけて dx/dt(d^2x/dt^2)=-1/x^2*(dx/dt) 与えられた公式をつかい (1/2)*d/dt*(dx/dt)^2=-dx/dt*(1/x^2) (1/2)*d/dx*(dx/dt)^2=-(1/x^2) 両辺xで積分すると (dx/dt)^2=2/x+2(1-1/X0)(初期条件より) (2) は dt/dxが0すなわち1/xが-(1-1/X0)のときかとおもったのですが よくわからないです。 どなたかおねがいします。。

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> (1/2)*d/dt*(dx/dt)^2=-dx/dt*(1/x^2) (1/2)*d/dt*(dx/dt)^2=d/dt*(1/x) > (1/2)*d/dx*(dx/dt)^2=-(1/x^2) > 両辺xで積分すると 両辺をtで積分すると (1/2)(dx/dt)^2=(1/x)+C…(A) t=0とおくと (1/2)2=1/x0+C C=1-(1/x0) (A)に代入 (1/2)(dx/dt)^2=(1/x)+1-(1/x0)…(B) dx/dt=0となる時、t=tm、x=xmとおくと、 t=tmの時 1/xm=(1/x0)-1=(1-x0)/x0 xm=x0/(1-x0)…(C) d^2x/dt^2(t=tm)=-1/xm^2<0 従ってt=tmでx(t)は上に凸 …(D) (B)のグラフを横軸にx,縦軸にy=dx/dtをとって(yを変化させてxをプロットする陰関数のグラフとして)描くと 0<x0<1の下で、dx/dt=0になるときxは(C)の最大値xmをとることが分かる。 このときのtがt=tm(≧0)で (D)から最大(正確には(D)だけでは極大値の条件)を満たすt=tmが 存在していることが分かる。

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