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微分方程式

dx/dt= v dv/dt= -x (初期条件t = 0 に於いてx = -1 v = 0) を満たす微分方程式を t=1,2,3,4の時での詳しい解答を教えてください。 1番上の2式を併せるとd^2x/dt^2 = -x(初期条件t = 0 に於いてx = -1 dx/dt = 0)となります。

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d^2x/dt^2 = -x 一般解:x = A sin(t) + B cos(t). (A,B は積分定数) dx/dt = A cos(t) - B sin(t) = v, v = A cos(t) - B sin(t), dv/dt = -A sin(t) - B cos(t) = -x, 故に,dv/dt= -x より, -A sin(t) - B cos(t) = -(A sin(t) + B cos(t)) となるので矛盾はなく,計算違いはない. >(初期条件 t = 0 に於いて x = -1  v = 0) x = A sin(t) + B cos(t) により, -1 = A sin(0) + B cos(0), -1 = A*0 + B*1, B = -1 v = A cos(t) - B sin(t) により, 0 = A cos(0) - B sin(0), 0 = A*1 - B*0, A = 0 故に,A = 0,B = -1 なので,x は, x = A sin(t) + B cos(t) = 0*sin(t) - cos(t) x = - cos(t) v は, v = A cos(t) - B sin(t) = 0*cos(t) -(-1)sin(t) v = sin(t) >t=1,2,3,4の時での詳しい解答を教えてください。 t=1,x = -cos(1), t=2,x = -cos(2), t=3,x = -cos(3), t=4,x = -cos(4). t=1,v = sin(1), t=2,v = sin(2), t=3,v = sin(3), t=4,v = sin(4). なお, -cos(1) や sin(1) などは,(1)が「ラジアン」か「度」かを決めてやれば,sin(1) などの数値が決まります. 以上です.

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  • 回答No.3

dv/dt=d(dx/dt)/dt=d^2x/dt^2=-x d^2x/dt^2+x=0    (1) いわゆる定係数2階線形常微分方程式。 素解をx=e^(pt)とおいて(1)に代入すると p^2+1=0 p=±i (iは虚数単位) よって x=ae^(-it)+be^(it) が一般解。 e^(±it)=cost±sint を用いて三角関数で表すほうが使い勝手が良い。 すなわち x=asint+bcost v=acost-bsint 初期条件より b=-1, a=0 よって x=-cost v=sint >t=1,2,3,4の時での詳しい解答を教えてください。?

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  • 回答No.1
  • f272
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なんだか怪しげな日本語だが,それはさておき d^2x/dt^2 = -x って言うことはtで2回微分したら元の関数の符号を変えたものになるってことでしょ。 それはx=costとかx=sintとかがすぐに思い浮かぶでしょう。 一般的にはこれらの線形結合だけれど,このうちの初期値を満たすものを求めればよい。

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