微分方程式について

質問

微分方程式について。

yやdy/dxの形ならば解けるのですが

ちょっと変わった形になると解けずに困っております。
回答お願いします。

1 未知関数x(t),y(t)に関する微分方程式

x´(t)=y(t), y´(t)=-x(t)を
初期条件x(0)=a, y(0)=bの下で解け。

2 x=x(t)を変数tのC^∞級関数とする。
このとき、 d^2x/dt^2 +(dx/dt)^2 -4=0 を解け。

3 tの関数x(t)が次の微分方程式を満たすとする

x´+x^2+a(t)x+b(t)=0 ただしx´=dx/dtである。

・x(t)=u´(t)/u(t)のとき、関数u(t)の満たす微分方程式を求めよ。

・微分方程式 x´=x(1-x)の一般解を求めよ。

長いですが回答お願いします

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

質問文からは、自分で何をやってみたのか判りませんが…

1.
y が微分可能であることから
x'(t) = y(t) は両辺を微分することができて、
x''(t) = y'(t) = -x(t) です。
初期条件は、x(0) = a, x'(0) = y(0) = b。
これは、x についての(定係数斉次)線形微分方程式
ですから、型どおりに解くことができます。 型↓
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/d-eq/bi2.pdf

2.
p = dx/dt と置けば、与式は
dp/dt + p^2 - 4 = 0。 こうすると見やすいですね。
変数分離形 dp/(4 - p^2) = dt です。
参考→ http://umeken.sakura.ne.jp/kenwiki/index.php?plugin=attach&refer=%B1%E9%BD%AC%CC%E4%C2%EA%B5%DA%A4%D3%B9%D6%B5%C1%A5%CE%A1%BC%A5%C8&openfile=021226lec.pdf

3.
リッカチ型微分方程式というやつですが、別に
x を求めろと言われている訳ではないので…
単に、微分方程式へ x(t) = u'(t)/u(t) を代入すれば、
u(t) についての微分方程式に変わります。

上記は、一般的な a(t), b(t) の話でしたが、
具体的な x' = x(1-x) も、u(t) の方程式に変えてみましょう。
u の微分方程式を解いて… って、オイ。
そんなんせんでも、x' = x(1-x) は変数分離形やがな。

補足

ヒントを頼りに解いてみました

1 x(t)=Asint+Bcost A,Bは任意

初期条件より　A=b B=a

以上より　x(t)=acost+bsint
y(t)=-asint+bcost

2 dx/dt=Pとおいて
　　1/(p-2)(p+2)*p'=-1
部分分数分解して　その後両辺をtで積分
　　log|p-2/p+2|=-4t+C
よってp-2/p+2=Ae^-4t Aは任意
　　P=2(e^4t+A)/(e^4t-A)
両辺をtで積分して
　　X=2∫(e^4t+A/e^4t-A)dt 以上

3 x*u=u' より
　　u''=x'*u+x*u'
=(x'+x^2)u

代入して　u''+a(t)u'+b(t)u=0

上式を使わず変数分離して
　　　両辺をtで積分すると
　　　∫{1/x + 1/(1-x)}dx=t+C
log|x/1-x|=t+c
x/(1-x)=Ae^t (Aは任意)
x(1+Ae^t)=Ae^t
x=Ae^t/(1+Ae^t)

こちらで間違いはないでしょうか

回答No.1

Tacosan

どこが「変わった形」なんだろう. ひょっとして「独立変数が x じゃなくて t」とか「従属変数が y じゃなくて x」とかのあたりをもって「変わった形」としているんだろうか.

どこでどう困っているのかわからんので簡単に:
1. 2階線形
2. d^2x/dt^2 = (d/dt)(dx/dt)
3. 上は計算するだけ. なぜ困るのかさっぱりわからん. 下は「それを使え」ってことなんだろうけどそんなことするまでもなく解けて当然のレベル.