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微分方程式

m*dv/dt+mvν=eE (初期条件t=0のときv=0) 記号の読みv(ブイ),ν(ニュー)である。 この微分方程式の解き方を教えて下さい。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.3
  • KENZOU
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#2のKENZOUです。 >dv/dt=-(vν-eE/m) (2) から  (1/ν)dln(vν-eE/m)/dt=-1 (3)へのこの変形がよく分からない え~っと、ln(vν-eE/m)をtで微分するとvだけがtの関数ですから (d/dt)ln(vν-eE/m)=[1/(vν-eE/m)](d/dt)(vν-eE/m))     =[ν/(vν-eE/m)]dv/dt     =[ν/(vν-eE/m)][-(vν-eE/m)]     =-ν  (1) となりますね。ここで(2)の式を使いました。(1)の両辺をνで割ると   (1/ν)dln(vν-eE/m)/dt=-1 となりますね。 この辺の計算のやり方は別のご質問「微分方程式(2)」で詳しく書いていますのでそちらも参照してください。

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質問者からのお礼

有り難うございました。助かりました。

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  • 回答No.2
  • KENZOU
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>m*dv/dt+mvν=eE (初期条件t=0のときv=0) そうでしたか、失礼しました(^^);。それでは  m*dv/dt+mvν=eE  (1)  dv/dt=-(vν-eE/m) (2)  (1/ν)dln(vν-eE/m)/dt=-1 (3)  ln(vν-eE/m)=-νt+C (4)  vν-eE/m=kexp(-νt) t=0の時v=0だからk=-eE/m ∴vν-eE/m=-eE/mexp(-νt)  (5) (5)を整理すると  v=(1/ν){(eE/m)(1-exp(-νt)) ですか。

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質問者からの補足

dv/dt=-(vν-eE/m) (2) から  (1/ν)dln(vν-eE/m)/dt=-1 (3)へのこの変形がよく分からないので詳しく教えて下さい

  • 回答No.1
  • KENZOU
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問題の方程式の左辺第2項の符号はマイナスではないですか。そうだとして解くと m*dv/dt-mvν=eE  (1) 両辺をmで割ると  dv/dt=vν+eE/m (2) これから  1/(vν+eE/m)dv/dt=1 (3) (3)は  (1/ν)dln(vν+eE/m)/dt=1 とかけるから、積分すると  ln(vν+eE/m)=νt+C (4) t=0の時v=0だからC=ln(eE/m) よって(4)は対数をほどくと  vν+eE/m=exp(νt+ln(eE/m))        =(eE/m)exp(νt)  (5) (5)を整理すると  v=(1/ν)(eE/m){exp(νt)-1}   

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質問者からの補足

m*dv/dt+mvν=eE (初期条件t=0のときv=0) この式なんですが。解き方を教えて下さい。

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