微分方程式

質問

ｍ*ｄｖ/dt＋ｍｖν＝ｅＥ　（初期条件ｔ＝0のときｖ＝0）
記号の読みｖ(ブイ),ν(ニュー)である。
この微分方程式の解き方を教えて下さい。

回答No.3

KENZOU · ベストアンサー

＃２のKENZOUです。
＞ｄｖ/ｄｔ＝－(ｖν－eＥ/ｍ)　(2) から
　(1/ν)ｄln(ｖν－ｅＥ/ｍ)/ｄｔ＝－１　(3)へのこの変形がよく分からない

え～っと、ln(ｖν－ｅＥ/ｍ)をｔで微分するとｖだけがｔの関数ですから
(d/dt)ln(ｖν－eE/m)＝[1/(vν-eE/m)](d/dt)(vν-eE/m))
　　　　＝[ν/(vν-eE/m)]dv/dt
　　　　＝[ν/(vν-eE/m)][-(ｖν-eＥ/ｍ)]
　　　　＝-ν　　(1)
となりますね。ここで(2)の式を使いました。(1)の両辺をνで割ると
　　(1/ν)ｄln(ｖν-eE/m)/dt＝-１
となりますね。
この辺の計算のやり方は別のご質問「微分方程式(2)」で詳しく書いていますのでそちらも参照してください。

お礼

有り難うございました。助かりました。

回答No.2

KENZOU

>ｍ*ｄｖ/dt＋ｍｖν＝ｅＥ　（初期条件ｔ＝0のときｖ＝0）
そうでしたか、失礼しました（＾＾）；。それでは
　ｍ*ｄｖ/dt＋ｍｖν＝ｅＥ　　(1)
　ｄｖ/ｄｔ＝－(ｖν－eＥ/ｍ)　(2)
　(1/ν)ｄln(ｖν－ｅＥ/ｍ)/ｄｔ＝－１　(3)
　ln(ｖν－ｅＥ/ｍ)＝－νｔ＋Ｃ　(4)
　ｖν－ｅＥ/ｍ＝ｋexp(－νｔ)
ｔ＝０の時ｖ＝０だからｋ＝－ｅＥ/ｍ
∴ｖν－ｅＥ/ｍ＝－ｅＥ/ｍexp(－νt) 　(5)
(5)を整理すると
　ｖ＝(1/ν){(ｅＥ/ｍ)(１－exp(－νt))
ですか。

補足

ｄｖ/ｄｔ＝－(ｖν－eＥ/ｍ)　(2) から
　(1/ν)ｄln(ｖν－ｅＥ/ｍ)/ｄｔ＝－１　(3)へのこの変形がよく分からないので詳しく教えて下さい

回答No.1

KENZOU

問題の方程式の左辺第2項の符号はマイナスではないですか。そうだとして解くと
ｍ*ｄｖ/dt－ｍｖν＝ｅＥ　　(1)
両辺をｍで割ると
　ｄｖ/ｄｔ＝ｖν＋eＥ/ｍ　(2)
これから
　1/(ｖν＋ｅＥ/ｍ)dv/dt＝１　(3)
(3)は
　(1/ν)ｄln(ｖν＋ｅＥ/ｍ)/ｄｔ＝１
とかけるから、積分すると
　ln(ｖν＋ｅＥ/ｍ)＝νｔ＋Ｃ　(4)
ｔ＝０の時ｖ＝０だからＣ＝ln(ｅＥ/ｍ)
よって(4)は対数をほどくと
　ｖν＋ｅＥ/ｍ＝exp(νt＋ln(ｅＥ/ｍ))
　　　　　　　＝(ｅＥ/ｍ)exp(νt)　　(5)
(5)を整理すると
　ｖ＝(1/ν)(ｅＥ/ｍ){exp(νt)－１}

補足

ｍ*ｄｖ/dt＋ｍｖν＝ｅＥ　（初期条件ｔ＝0のときｖ＝0）
この式なんですが。解き方を教えて下さい。