• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

e^-1/Tの積分

現在、次のような微分方程式を解かなければならず、 悪戦苦闘しています。 dx/dT=k/a*exp(-E/RT)*(1-x) この式のうち、k,a,E,Rは定数で既知なので、無視すると、 dx/dT = exp(-1/T)*(1-x) という微分方程式になります。 私はこの式をxとTの変数分離型の微分方程式と捉えて次のように変形しました。 dx/(1-x) = exp(-1/T)dT これの両辺を積分するのですが、左辺は ln{1/(1-x)} という答えになるのがわかるのですが、右辺の ∫exp(-1/T)dT という積分が解けません。 どなたか教えていただけませんでしょうか。 よろしくお願いいたします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数1
  • 閲覧数1792
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • Meowth
  • ベストアンサー率35% (130/362)

exp(-1/T)dT -1/T=t とおくと T=-1/t dT=1/t^2dt exp(-1/T)dT=exp(t)/t^2dt =-exp(t)/t+exp(t)/tdt exp(t)/tの積分は 積分指数関数 Ei(t) になる。 同じような質問があります

参考URL:
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa410859.html

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 微分積分について

    微分積分初心者です。 dy/dx=5という微分方程式があって、これの両辺をxで積分すると ∫dy/dx・dx=∫5dx y=5x + C(Cは積分定数)というのはわかるのですが、 dxを右辺に持って行って、 dy=5dxとして両辺を積分する時は、左辺をyで積分、右辺をxで 積分ということになるのでしょうか? こういうことは可能なのでしょうか? また一階微分の時は右辺にdxを持っていくことができますが、 二階微分以上ではできないのはなぜでしょうか? よろしくお願い致します。

  • 微分方程式

    微分方程式を2問ほど解けません お願いします 1問目 (x+y)y'+x-y=0 y'=((y/x)-1)/(1+(y/x)) y/xをtとおくと y’=t+xt' 以上より (t-1)/(1+t)=t+xt' (t+1)dt/(t^2+1)=-dx/x・・(1) 左辺=-logx+logC まではわかるのですが(1)の右辺が解けません 2問目 y'+2xy-x-x^3=0 y'+2xy=x^3+x 両辺にexp(x^2)をかけて exp(x^2)y=∫(x^3+x)exp(x^3)dx ここまではできたのですが右辺の積分ができません どちらか片方でも良いので教えてもらえると助かります

  • 微分方程式と積分

    1.次の微分方程式を解け。 (1)y''+2y'+y=3sin2x 同次微分方程式の一般解はu(x)=(C₁+C₂x)exp(-x) と求められるのですが、非同次微分方程式の特殊解u₀(x)が求められません。 どうやって求めればいいのでしょうか。 (2)y''-5y'+6y=x(exp(x)) 非同次微分方程式の特殊解u₀(x)はどうやって求めたらいいのでしょうか。 2.置換積分によって、次の定積分を求めよ。 1.∫[0→π/2] 1/(1+cosx)dx tanx/2=tと置いた後、どうすればいいのでしょうか。 2.∫[0→a] x^2(√a^2-x^2)dx(a>0) x=asintとおくと、dx=acost dt .∫[0→a] x^2(√a^2-x^2)dx=∫[0→π/2] a^2sin^2t*acos^2t dt このあとどうすればいいのでしょうか。 お願いします。

  • 1/y・dy/dtを積分すると、どうしてlogey+C’’になるのでしょうか?

    とある微分方程式の教科書で勉強していると、疑問に思った箇所がありまして(>_<) dy/dt = ry ・・・(1) を、積分するという話なのですが、これを積分した結果が、 logey = rt+C’ ・・・(2) になるそうなのです。 教科書の説明では、「未知関数yを微分したdy/dt(左辺)は、もとの未知関数yに定数を掛けたものになっている(右辺)」ので、「単に両辺を積分しても、右辺をどう積分していいのかわからない」そうなのです。 そこで、"変数分離法"なるものを利用して、左辺を未知関数yだけに、右辺を定数と変数tだけにするために、両辺をyで割り、その後に積分するという手法を採っていました。 そうすれば、左辺が、 ∫1/y・(dy/dt) dt = ∫dy/y = logey+C’’ ・・・(3) となり、右辺は、 ∫r dt = rt+C’’’  ・・・(4) となるので、両辺の積分定数をまとめてC’と置いて、結果として(2)になるそうなのです。 私がわからないのは、左辺の積分、(3)についてです。 分数の積分の公式に、 1/x →積分→ logex(=lnx) +C http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0 http://sqa.scienceportal.jp/qa4962140.html というものがあるそうなので、1/yを積分した「∫1/y dt」は、「logey+C’’(定数)」になるのだと思います。 でも、今回の積分は「∫1/y・(dy/dt) dt」であり、「∫1/y・dt」とは違うので、logey+C’’になるのはおかしいと思うのです。 教科書が間違っている可能性は低いと思います。 どうしても理解できませんので、皆様のアドバイスをいただければ幸いです。 よろしくお願いします<m(__)m>

  • 積分計算がわかりません

    微分方程式の問題で (x+y)dy/dx=3x+3y+1 の一般解を求めたいのですが 自分がわかった部分は Y=x+y・・・(1)とおいて 両辺をxで微分して dY/dx=1+dy/dx・・・(2) となるので(1)(2)から dY/dx=(4Y+1)/Yになって Y/(4Y+1)dY=dx で両辺を積分すれば求まると思ったのですが 左辺の積分がうまく出来ません また、ここまでの式変形がすでに間違えているのでしょうか

  • 微分方程式

    dx/dt=a^2-x^2 (aは実数の定数) (1)この微分方程式は1階の線形同次・線形非同次・非線形のどれにあてはまるか。 (2)この微分方程式の一般解を変数分離法で求めよ。 考えたことは(1)は非線形だと思いますが、合っていますか? (2)はdx/(x^2-a^2)=-dtと変形し、両辺積分します。  すると、1/(2a)log(|x-a|/|x+a|) = -t + C このあとx=が分からないです。 教えてください。お願いします

  • 「高校数学」置換積分法の公式について

    x=g(t)のときの置換積分法の公式∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt についてなんですが、 dx/dt=g'(t)だから dx=g'(t)dtよりこれを左辺のdxに代入して 機械的に右辺の式になると考えるのは間違いでしょうか? 教科書では y=(左辺)として dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)=f(g(t))g'(t)だから両辺tで積分して 右辺を作ってましたが・・・

  • 微分積分初歩的な質問

    1.置換積分において例えば sinx=t とおいた場合、 両辺をまずtで微分して d/dt・sinx=d/dt・t  左辺のd/dtをd/dx・dx/dtとして cosx・dx/dt=1 dtを両辺に”かけて”cosx・dx=dt とできますよね? 2.でももっと簡単な方法(?)を思いつきました。 左辺をxで微分してdxをつける、右辺をtで微分してdtをつける、 としたら解答が一致して、今のところ他の問題でもうまく行っています。 疑問1.以前質問したときd/dxは演算子と教えられました。しかし、 cosx・dx/dt=1 の両辺に dt を”かける”と間違った答えには なりません。演算子は”かける”とかいうものをしちゃいけない ように言われたのですが、結果としてうまくいってしまっている上記の 式に関してはたまたまなのでしょうか?それとも何か私が 勘違いしているのでしょうか? 疑問2.上記2.における文章で説明した”簡単な方法”は たまたまうまく行っているだけでしょうか?それとも、広く行われている 方法でしょうか?

  • 電気回路 1階の連立微分方程式

    「2階の微分方程式」を「1階の連立微分方程式」に書き換える意義を教えて下さい。 まずは、添付画像(本への書き込み) と 原著のpdfの13ページ目(演習1.2、本でいうと3ページ目)をご覧ください: https://www.morikita.co.jp/data/mkj/091782mkj.pdf 階数の引き下げ方は理解しています。ただ、なぜ引き下げるのかが不明です。 分からないのが、式(7)から式(9)にする過程で、すべてを右辺に移項して、左辺をゼロにしているようです。 キルヒホッフの第二法則「一周すると総和はゼロ」に基づいてだと思います。 しかし、式(9)になると、その左辺のゼロが d/dt [ x[1], x[2] ]' ←縦書き に書き換わっています。 どういうことですか? しかも、d/dt [ x[1], x[2] ]'のx[2]って元々x[1]の微分ですよね? d/dt [ x[2] ]なら更に微分するということになりますよね? つまり、x[1] = qから辿ると、2階の微分 d(dq/dt)/dt) になります。 これは式(2)のLの項の (d^2 q)/(dt^2) と同じ意味ですか? 今まで私が知っている微分方程式は y' = 2(x-1) の両辺をxで積分して y = x^2 - 2x + C …のように、左辺はyでした。 今回、yは式(10)の左辺にありますね。 式(9)と式(10)の関係が不明です。 よくよく考えたら、私にとって連立微分方程式を扱うのは今回が初めてでした。 過去に終わらせた微分方程式の本には連立微分方程式は載っていません。 ネットで2時間検索したのですが、納得いく答えは見つかりませんでした。 どうか納得いくように教えて下さい。よろしくお願いします。

  • 微分方程式

    こんにちは。微分方程式の問題が解けなくて困っています。 次のx(t)に関する微分方程式 d^2x/dt^2=-1/x^2 ただし初期条件はt=0でx=X0(x0>0),dx/dt=√2であるとする。 (1) 与式の両辺にdx/dtを乗じて積分することにより、初期条件を満たすxについての1階微分方程式をもとめよ。 必要ならば、公式d/dt(dx/dt)^2=2*(dx/dt)*(d^2x/dt^2) (2)0<x0<1のときt(t≧0)餓変化した場合のx(t)の最大値を求めよ。 (1)は与式の両辺にdx/dtをかけて dx/dt(d^2x/dt^2)=-1/x^2*(dx/dt) 与えられた公式をつかい (1/2)*d/dt*(dx/dt)^2=-dx/dt*(1/x^2) (1/2)*d/dx*(dx/dt)^2=-(1/x^2) 両辺xで積分すると (dx/dt)^2=2/x+2(1-1/X0)(初期条件より) (2) は dt/dxが0すなわち1/xが-(1-1/X0)のときかとおもったのですが よくわからないです。 どなたかおねがいします。。