- ベストアンサー
媒介変数表示の2重積分の問題です
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>これはまずｙをｘの関数としてあらわす必要があるのでしょうか？ 表す必要はありません。 >面積 ∬D dxdy S=∬D dxdy =∫[-π,π] {∫[0,y(θ)} 1 dy}dx =∫[-π,π] y(θ)(dx/dθ)dθ ここで y=y(θ)=1+cosθ dx/dθ=(θ+sinθ)'=1+cosθ を代入すれば積分は媒介変数θだけの積分になりますね。 つまり S=∫[-π,π] (1+cosθ)^2 dθ 偶関数の積分なので区間[-π,0}の積分と区間[0,π}の積分は等しくなるので S=2∫[0,π] (1+cosθ)^2 dθ で計算すれば良いです。 被積分関数は次のように変形できるので項別積分すれば良いでしょう。 (1+cosθ)^2=1+2cosθ+cos^2θ=1+2cosθ+(1/2)(1+cos2θ) =(3/2)+2cosθ+(1/2)cos(2θ) S=2∫[0,π](3/2)dθ+2∫[0,π] 2cosθdθ+2∫[0,π](1/2)cos(2θ)dθ この積分なら出来ますね。 やってみて下さい。 S=3π となればOKです。
その他の回答 (1)
∫∫dxdy = ∫ydx = ∫(1 + cosθ)(1 + cosθ)dθ = 2 ∫[0→π] (1 + cosθ)^2 dθ なのでは？
お礼
一行目から2行目の発想ができませんでした・・。 解答ありがとうございました。
関連するQ&A
- 媒介変数表示された関数の導関数
数学3Cを独学で学んでいますが、躓いています… この問題↓で、 次の関数について、dy/dxをθで表せ。(θは媒介変数とする) x=θ-sinθ、ｙ=1-cosθ なぜ↓のようになるのかが、いまいち理解できません…。 dy/dθ=sinθ dx/dθ=1-cosθ ∴dy/dx=sinθ/1-cosθ それから、数3Cで独学に良いサイト等ありましたら、教えて頂けると嬉しいです。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 陰関数そのものを使った積分の計算法
いろいろな曲線の表示において、微分や積分の計算法を整理してみました。 x^2+y^2=4上の点(x,y)=(1,√3)でのdy/dxの値の求め方。 陽関数。y=√(4-x^2)よりdy/dx=-x/√(4-x^2)。x=1のとき、dy/dx=-1/√3。 媒介変数。x=2cos(θ),y=2sin(θ)とすると、dy/dx=dy/dθ÷dx/dθ=-cos(θ)/sin(θ)。 θ=π/3のとき、dy/dx=-1/√3。 逆関数。x=√(4-y^2)よりdy/dx=1÷dx/dy=-√(4-y^2)/y。y=√3のとき、dy/dx=-1/√3。 極座標に変数変換。(x,y)→(r,θ) (ただし、x=rcos(θ),y=rsin(θ))とすると、(1,√3)→(2,π/3)。 x^2+y^2=4→r=2。dx=cos(θ)dr-rsin(θ)dθ、dy=sin(θ)dr+rcos(θ)dθ。dr/dθ=0。 よって、dy/dx=-cos(θ)/sin(θ)。θ=π/3のとき、dy/dx=-1/√3。 陰関数。2x+2y(dy/dx)=0より、dy/dx=-x/y=1/√3。 y≧0,x^2+y^2≦4の面積の求め方。 陽関数。境界はy=√(4-x^2)より∫[-2,2]ydx=∫[-2,2]√(4-x^2)dx=[(1/2)√(4-x^2)+2arcsin(x/2)] [-2,2] = 2π 媒介変数。境界をx=2cos(θ),y=2sin(θ)とすると、∫[-2,2]ydx=∫[π,0]2sin(θ){-2sin(θ)}dθ = 2π 逆関数。境界はx=√(4-y^2)より∫[-2,2]ydx=2∫[0,1]y(dx/dy)dy=2∫[2,0]y(-y/√(4-y^2))dy=2π 極座標に変数変換。(x,y)→(r,θ)(ただし、x=rcos(θ),y=rsin(θ))とすると、 [y≧0,x^2+y^2≦4]→[0≦r≦1,0≦θ≦π]、ヤコビアンはr。よって、 ∫[y≧0,x^2+y^2≦4]dxdy=∫[0≦r≦2,0≦θ≦π]rdrdθ=2π 以上のように計算法を比べてみると、陰関数そのものを使った積分の計算法を僕は知りません。 数学の理論はボタンをかけるように、パラレルな理論があると信じているのですが、 一方を知らないので気になります。 陰関数そのものを使った積分の計算法があれば教えていただけますようお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 媒介変数を用いた積分
媒介変数tを用いて、 x=cos2t y=tsint (0≦t≦2π) と表される曲線が囲む領域の面積を求める問題です。 いつも見慣れている問題のように、 S=∫ydx (インテグラルは0から2π) dx=-1/2sin2tdt と置いてやりましたが、答がマイナスになってしまいます。 どのように、解答の指針を立てたらよいでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- [問題]曲線Cが媒介変数θを使って、x=(cosθ)^4, y=(si
[問題]曲線Cが媒介変数θを使って、x=(cosθ)^4, y=(sinθ)^4 (0≦θ≦π/2)と表されている。 （１）曲線C,x軸およびy軸によって囲まれる部分の面積を求めよ。 （２）曲線C,x軸およびy軸によって囲まれる部分をx軸のまわりに一回転させてできる回転体の体積を求めよ。 普通にやろうとした、五倍角や4倍角が出てきて… なにかよい手立てはありますか??
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2重積分の問題教えてください！
Dを（）内の不等式で表される領域とするとき、次の2重積分の値を求めよ。（領域Dも図示せよ。） ∫∫[ ,D]sin(2x+y)dxdy (0≦x≦π/2, x≦y≦2x) 2重積分の問題なのですがなかなか答えにたどり着けずにいます。誰か教えていただけないでしょうか？ ∫∫[ ,D]sin(2x+y)dxdy =∫[π/2,0]{∫[2x,x]sin(2x+y)dy}dx ここからが進みません。宜しくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 媒介変数表示の二階微分
媒介変数表示 x=cos~3t,y=sin~3t があります.これを微分する場合, dx/dt=3(-sin t)cos~2t dy/dt=3cos t sin~2t となり,dy/dt=-tan t となるようですが,これを二階微分するには,どうしたらよいのでしょうか. そのまま d~2y/dx~2とやってもtだけなので結果は0ということはもちろんあり得ないので,tを何らかの形でxを含ませるか,媒介変数表示の場合は別の方法があるのか分かりません. このような場合にはどうやって微分すればよいのでしょうか？ご教授願います.
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ここまで詳しく解説していだたけるとは・・本当に感謝です。 ありがとうございます。