媒介変数表示の2重積分の問題です

質問

媒介変数表示の2重積分の問題です

曲線C
x＝θ＋sinθ
y＝1＋cosθ
（－π≦θ≦π）

Cとｘ軸で囲まれる領域をDとすると　面積　∬D　dxdy　についてです。

式がサイクロイドと似てたので、dy/dxをθで書き直したりしましたが、解答には結びつきませんでした・・。
これはまずｙをｘの関数としてあらわす必要があるのでしょうか？
その計算もちょっとできないままなのですが・・。どうかそれも含めてご教示お願いします・・。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>これはまずｙをｘの関数としてあらわす必要があるのでしょうか？
表す必要はありません。

>面積　∬D　dxdy

S=∬D　dxdy
=∫[-π,π] {∫[0,y(θ)} 1 dy}dx
=∫[-π,π] y(θ)(dx/dθ)dθ

ここで　y=y(θ)=1+cosθ
　dx/dθ=(θ+sinθ)'=1+cosθ
を代入すれば積分は媒介変数θだけの積分になりますね。
つまり

S=∫[-π,π] (1+cosθ)^2 dθ

偶関数の積分なので区間[-π,0}の積分と区間[0,π}の積分は等しくなるので
S=2∫[0,π] (1+cosθ)^2 dθ
で計算すれば良いです。

被積分関数は次のように変形できるので項別積分すれば良いでしょう。
(1+cosθ)^2=1+2cosθ+cos^2θ=1+2cosθ+(1/2)(1+cos2θ)
=(3/2)+2cosθ+(1/2)cos(2θ)

S=2∫[0,π](3/2)dθ+2∫[0,π] 2cosθdθ+2∫[0,π](1/2)cos(2θ)dθ

この積分なら出来ますね。

やってみて下さい。

S=3π となればOKです。

お礼

ここまで詳しく解説していだたけるとは・・本当に感謝です。
ありがとうございます。

回答No.1

noname#185706

∫∫dxdy
= ∫ydx
= ∫(1 + cosθ)(1 + cosθ)dθ
= 2 ∫[0→π] (1 + cosθ)^2 dθ
なのでは？

お礼

一行目から2行目の発想ができませんでした・・。
解答ありがとうございました。