平面曲線の媒介変数表示, 曲率

質問

xy 面上の曲線C: ζ(t) =(x(t) , y(t))=(R(t － sin t) , R(1 － cos t))
(0 ≤ t ≤ 2π) を考える.
(1) 曲線C はサイクロイドと呼ばれる. 媒介変数t の幾何的意味を明らかにしつつ, 曲線C を図示せよ.
(2) 原点O から媒介変数の値がt となる点までの弧長s(t) を求めよ.
(3) 弧長s(t) の逆関数t(s) を求め, サイクロイドC を弧長s で媒介変数表示せよ.
(4) 弧長パラメータs をもちいた曲率の定義に従い, サイクロイドC の曲率κ(s) を求めよ.
(5) 弧長パラメータを経由することなく, もとの媒介変数t で曲線C の曲率を求め, それが前小問の結果と一致することを確かめよ.

教えてください。

回答No.7

info22_

ANo.5の続き

(4)
ANo.5の参考URLの一番目より
曲率κ=±√{(d^2x/ds^2)^2 + (d^2y/ds^2)^2}
であるから

(3)より
t=2*arccos(1-(1/4)(s/R))
dt/ds=(1/2)(1/R)/√{1-(1-(s/(4R)))^2}=2/√(s(8R-s))
x=R(t-sin(t)),
dx/dt=R(1-cos(t))
y=R(1-cos(t))
dy/dt=Rsin(t)
dx/ds=(dx/dt)(dt/ds)=(1/4)(1/R)√(s(8R-s))
d^2x/ds^2=(1/4)(1/R)(4R-s)/√(s(8R-s))
(d^2x/ds^2)^2=(4R-s)^2/(s(8R-s)(16R^2))
dy/ds=(dy/dt)(dt/ds)=(4R-s)/(4R)
d^2y/ds^2=-1/(4R)
(d^2y/ds^2)^2=1/(16R^2)

κ=±√{(4R-s)^2/((16R^2)s(8R-s))+1/(16R^2)}
=±1/√(s(8R-s))
（途中計算は長くなるので一部省略しました。）

(5)はまた後で。

回答No.6

alice_44

(1)(2)(3) それでよい。
(4)(5) は、ヒントどおりに計算できなかった？

回答No.5

info22_

(1)
媒介変数t の幾何的意味
軌跡をxy座標で表すと
(x-tR)^2+(y-R)^2=R^2
これは
x軸上を転がる円(半径R、中心(tR,R)
の円であるから、tは円の中心のx座標が速度Rで移動する時間（媒介変数）を表すパラメータと言える。

(2)
s(t)=∫[0,t} √{（dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt
=R∫[0,t} √{（d(u-sin(u))/du)^2+(d(1-cos(u))/du)^2}du
=R∫[0,t} √{(1-cos(u))^2+(sin(u))^2}du
=R∫[0,t} √{2-2cos(u)}du
=R√2∫[0,t]√(1-cos(u))du
(途中省略)
=4R(1-cos(t/2))

(3)
t=2*arccos(1-(1/4)(s/R))

取り敢えずここまで。
余り、他力本願だけに頼らないで、自身でも自力でやって補足に書くようにしてください。その上で分からない所がでてきたら、わからない箇所を補足で質問してください。

(4),(5)
参考URL
ttp://21.xmbs.jp/shindou-263424-ch.php
ttp://sshmathgeom.private.coocan.jp/diffgeom/curvature.html
ttp://school.gifu-net.ed.jp/ena-hs/ssh/H23ssh/sc2/21111.pdf
ttp://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/Curvature/

参考URL：

http://21.xmbs.jp/shindou-263424-ch.php

回答No.4

alice_44

(1)
「t の幾何的意味を明らかにしつつ」は、出題者の態度があまり良くないけれど、
サイクロイドであることがネタばらしされているから、できないことはないはず。
ベクトルで考えると見通しが良くなるので、
(x, y)　=　R(t, 1) - R(sin t, cos t) を睨んで、
これがサイクロイドと何の関係を持つか考えてみよう。
t の幾何的意味は、そこから見つかるはず。

(2)
これは、公式どおり、型どおり。
s(t) = ∫ √{ (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 } dt, ただし s(0) = 0.
計算する。

(3)
単に式変形。

(4)
これも、公式どおり、型どおり。
「弧長パラメータ s をもちいた曲率の定義」を知ってるかどうかだけかな。
κ = √{ (d^2x/ds^2)^2 + (d^2y/ds^2)^2 }.
(3)の結果、t が s で表されているから、
合成関数の微分によって、これが計算できる。

(5)
「弧長パラメータを経由することなく」も、やはり、出題者の態度が良くない。
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/Curvature/
↑の図２のような幾何的考察をしてもよいが、
(4)とは逆に、(2)を使って公式から s を消去して求めても
いいのではないかと思う。(結果の一致は自明だが。)

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

媒介変数を弧長に直してから処理するのは微分幾何の基本的な手順なので
方法は教科書にそのまんま載ってるはず。
それを見ながら、見なくてもよくなるまで数をこなすべきなのがこの演習なんで、
人にやってもらったら意味ないです。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>Rの説明がないけど、何ですか？

転がる円の半径。

回答No.1

info22_

質問
Rの説明がないけど、何ですか？