数学II 積分

質問

数学II 積分
曲線 y=x^2 + x + 1 に原点から引いた2本の接線と、この曲線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
接点を（a,a^2 + a + 1）とおいて接線を求めると、y=(2a + 1)x - a^2 + 1 となります。

そしてこれが原点を通るから代入して計算すると
a=1,-1 とでます。
よって接線は
y=3x と y=-x とでます。
y軸を基準にして左側と右側に分けて考えて
S=∫[-1～0] (x^2 + 2x + 1)dx + ∫[1～0] (x^2 - 2x + 1)dx

ここまでが学校で言われた説明なんですが
この積分の式が理解できません。
y軸の左側と右側では、囲む接線が違うから
y軸より左と右で分けて計算して足すというのはわかるんですが

例えば左側を見たとき
囲んでいるのは曲線と接線とy軸じゃないですか?

「上の式 - 下の式」を積分して出る面積は 上の式と下の式だけで囲まれた面積ではないのですか?
y軸も入れて3本の式で囲まれているのにこれでいいんですか？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

前半の積分だけ説明します。

∫[-1～0](x^2+x+1-(-x))dx
これは次の4本の線で囲まれた部分の面積になります。
・y=x^2+x+1 (上側の曲線)
・y=-x (下側の直線)
・x=-1 (積分領域の左端)
・x=0 (積分領域の右端)
質問者は下の二つの線のことを忘れているだけです。定積分で面積を求めている場合、必ず両端を表す線で囲まれた領域を考えているのです。
今回の場合、x=-1は上の二つの線の接点であり、x=0がy軸なります。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

sanori

再びこんにちは。

y=x^2 + x + 1　＝　（ｘ^2　＋　ｘ　＋　１／４）　－　１／４　＋　１
　＝　（ｘ－１／２）^2　＋　３／４
頂点が（１／２，　３／４）で、下に凸の放物線ですね。

あなたの計算が正しいかどうかは試していませんが、ざっと手元で図を描いてみたところ、
Ｙ軸より左については、
・放物線と、
・右下がり接線と、
・放物線とＹ軸の交点から原点まで引いた線分
に囲まれた面積。
Ｙ軸より右については、
・放物線と、
・右上がり接線と、
・放物線とＹ軸の交点から原点まで引いた線分
に囲まれた面積。
そして、２つ合体すると、境界線になっているＹ軸の線分の長さは、左についても右についても、放物線とＹ軸の交点から原点まで引いた線分の長さなので、合体した図形はＹ軸と関係なくなっています（＝合体した図形はＹ軸に囲まれているわけではない）。