面積を等分する問題（積分）

質問

「a>1　とする。曲線ｙ＝x^2＋ｘ－a^2+a　とx軸および直線ｘ＝ａとで囲まれた2つの部分の面積が等しくなるａの値を求めよ。またこのとき、それぞれの面積を求めよ」

このような問題に取り組んでいます
2つの部分のイメージは何とかつかめて、それぞれ積分の計算をしてイコールで結ぼうと思ったのですが、
曲線とｘ軸とx=aとで囲まれた部分（S2とします）
の面積がうまく出せません。
どうやればS1との式でうまくaの値が出せるのでしょうか？
回答いただけると助かります。
宜しくお願いいたします

回答No.3

postro · ベストアンサー

ｙ＝x^2＋ｘ－a^2+a　とx軸で囲まれた面積・・・S1
ｙ＝x^2＋ｘ－a^2+a　とｘ軸とx=aとで囲まれた面積・・・S2
＃２さんのおっしゃているように、S1がｘ軸より下にあり、S2が上にあることを考えると、
積分範囲を「ｙ＝x^2＋ｘ－a^2+a　とx軸との交点の左側・・・αとする」から「ｙ＝x^2＋ｘ－a^2+a　と x=a との交点のx座標（なんのことはないこれはaです)」までとして、その結果が０になれば　S1=S2　ということになります。
αは方程式　x^2＋ｘ－a^2+a＝０　の解の小さい方をである。
x=[-1±√{(2a-1)^2}]/2 の小さい方は
α＝(-1-|2a-1|)/2
ここで場合わけして
0＜a＜1/2 のとき
α＝{-1-(1-2a)}/2=a-1 ここで積分を実行すると
∫[a-1～a](x^2＋ｘ－a^2+a)ｄｘ=a-1/6=0
∴a=1/6
1/2≦a のとき
α＝(-1-2a+1)/2=-a ここで積分を実行すると
∫[-a～a](x^2＋ｘ－a^2+a)ｄｘ=a^2*(2-4a/3)=0
∴a=3/2 (a≠0)
計算間違いがあるかもしれませんので確認してください。

回答No.4

postro

＃３です。
１＜a を読み落としてました（０＜aと勘違いしていた）
場合わけは必要なかったですね。
計算があっていれば　a=3/2 のみが答えです。失礼しました。
またさらに計算をすすめたら、そのときの面積はそれぞれ 4/3 と出ましたが、あってますかね？

お礼

とてもわかりやすく教えていただき助かりました。
おかげでうまく理解することができました。
ありがとうございました

回答No.2

peror

x^2＋ｘ－a^2+aを因数分解すると（x+?1)(x-?2+?3)になります。x=-?1,?2-?3,aの三点を使って積分します。
S1は-?1から?2-?3まで積分すればいいのですが、x軸の下にS1の領域があることに留意しました？S2は,?2-?3からaまで積分します。しかし、S1がX軸の下、S2が上にあることを使えば、積分計算をS1+S2＝０と置き、計算を省略できます。

回答No.1

noname#10209

S1は、aの式で表せたんですね。

曲線とX軸との交点もaの式で表せますよね。
つまりaから曲線とX軸との交点まで間の面積もaで表せますよね。

後はイコールで結ぶだけです。