定積分の応用

質問

次の図形の面積を求めよ。
(1)曲線y=x^3-5xと、点(1、-4)におけるその曲線の接線でかこまれた図形。
(2)放物線2y=x^2+a^2(a>0)と、原点からこれに引いた2本の接線で囲まれた図形。

(1)(2)ともに、接線の方程式を出したいのですが、接線の方程式の求め方がわかりません。おねがいします。

回答No.3

a5104008

上の回答で、一部見にくいところがあったので、

ｆ（ｘ）のところと、ｆ’（ｘ）のところがあります。

f(x)　がｆ（ｘ）で、

f'(x)　がｆ’（ｘ）です。

見にくくてごめんなさい。

回答No.2

a5104008

接線の方程式を求める公式は、

関数ｙ＝ｆ（ｘ）上のある点のｘ座標をaとすると、

　ｙ-ｆ(a) = f'(a)(x-a) ・・・・・・*

です。これは、問題集などにも書いてあると思うんですが、
具体的な使い方は、質問の問題を例にすると、

　y=f(x) = x^3-5x , a=1

⇒f'(x)= 3*x^2-5
⇒f(1) = 1-5 =-4
⇒f'(1) = 3-5 =-2
なので、*の公式に当てはめると、

　y-(-4) = (-2)*(x-1)

⇒y = -2x-2
という方程式が出てきます。

（２）は、接点の座標を、それぞれ、ｘ＝ｔ、とおき、
同じように接線の式を立てます。

そうすると、接線の方程式は、

　y=tx-{(t^2)/2}+{(a^2)/2}

となり、これが原点（ｘ、ｙ）＝（０，０）を通るので、
方程式に代入すると、

(t^2)/2 = (a^2)/2
⇒　t^2 = a^2
つまり、ｔ＝±a　となります。従って、接線の方程式は

　ｙ＝ ax
となります。

回答No.1

sanori

こんばんは。

曲線の方程式を　ｙ＝ｆ（ｘ）　と書くことにしますね。
それを微分したものは、ｙ’＝ｆ’（ｘ）　です。

接する点の座標を（ｘ１、ｙ１）と置くと、
接線の方程式　ｙ＝ａｘ＋ｂ　における傾きａは、
ａ　＝　ｆ’（ｘ１）
です。

残るはｂの求め方ですが、
ｙ＝ａｘ＋ｂ
に、ｘ＝ｘ１、ｙ＝ｙ１、ａ＝ｆ’（ｘ１）
を代入すれば求まります。