積分法

質問

放物線ｙ＝ｘ＾２－ｘ＋ｋに原点から引いた２本の接線が直交するという。
(１)定数ｋの値を求めよ。
(２)放物線と２本の接線で囲まれる部分の面積を求めよ

まず、方程式を微分してｙ´＝２ｘ－１。放物線上の点を(ｔ、ｔ＾２－ｔ＋ｋ）とおく。よって、接線の方程式はｙ－(ｔ＾２－ｔ＋ｋ）＝(２ｔ－１)(ｘ－ｔ)と表せる。ここからが分かりません。考え方を教えて下さい。因みに答えは(１)１／２　(２)√２／６です。

回答No.2

mumchan · ベストアンサー

原点を通る２つの接線との接点をＡ，Ｂとします。
そのｘ座標をα，βとします。
このとき，２つの接線の式は，
ｙ＝（２α－１）（ｘ－α）＋α＾２－α＋ｋ・・（１）
ｙ＝（２β－１）（ｘ－β）＋β＾２－β＋ｋ・・（２）
となります。
ところで、この２つの直線は原点を通っているので
ｘ＝０、ｙ＝０を代入して
α＾２＝ｋ
β＾２＝ｋ
（ｋ＞０でないと解はないのだが・・・）
α＝βでないことは、題意から明らかだから
α＜βとして、
α＝－root（ｋ）・・（３）
β＝＋root（ｋ）・・（４）
となる。
ところで、（１）、（２）は直交するので、
それぞれの傾きの積は－１
したがって、
（２α－１）（２β－１）＝－１・・（５）
（３）、（４）よりα＋β＝０だから
（５）を整理して
２αβ＝－１
（３）、（４）よりαβ＝－ｋ
これより、
ｋ＝１／２
が導かれる。
ここから先は、容易に導けることと思います。

あとは、自力でがんばってください。

お礼

丁寧な回答、有難うございました。無事答えを出す事が出来ました。今後、質問した際は宜しければ、また回答してください。

回答No.1

noname#24477

そこまでできていればあと少し、続きです。

原点を通るのでx=0,y=0を代入する。
整理するとｔについての２次方程式。
２解をα，βとするとき
接線の傾きは２α－１，２β－１
直交するならば傾きを掛けて－１
（２α－１）（２β－１）＝－１

ｔの２次方程式を解いてα，βを直接求めて計算しても
良いけれど、解と係数の関係を使うのがカッコイイやり方。

お礼

＞直交するならば傾きを掛けて－１
この考え方を忘れていました。もう少しで答えが導き出せそうです。回答有難うございました。