導関数の応用

質問

【問】関数f(x)=x~3+x~2-4xにおいて、次の問に答えよ。
　　(1)曲線 y=f(x) 上の点(t,f(t))における接線の方程式を求めなさい。
　　(2)点(0,k)から曲線 y=f(x) に引くことができる接線の本数を調べよ。

という問題で,(1)の接線の方程式は求められたのですが,(2)の接線の本数の求め方がわかりません。
　教えてください。お願いします。

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

y＝-2t＾3-t＾2の曲線を書かずに済ませる計算だけの別解を。。。。。笑

g（t）＝2t＾3＋t＾2＋kとすると、g´（t）＝6t（t＋1/3）であり、g（0）＝k、g（-1/3）＝（27k+1）/27。
(1)　極大値*極小値＜0、つまり　k*（27k+1）＜0の時　3個。
(2)　極大値*極小値＝0、つまり　k*（27k+1）＝0の時　2個。
(3)　極大値*極小値＞0、つまり　k*（27k+1）＞0の時　1個。

回答No.2

take_5

＞(1)の接線の方程式は求められたのですが

それなら後は簡単だろう。

点(t,f(t))における接線の方程式は、y＝（3t＾2＋2t-4）（x-t）＋（t＾3＋t＾2-4t）。これが、点(0,k)を通るから代入して整理すると、k＝-2t＾3-t＾2となるから、y＝-2t＾3-t＾2とy＝kとの交点の数を調べるだけ。
以降の計算は自分でやって。

回答No.1

proto

(1)でx=tにおける接線の方程式を求めましたね。
もしその接線が点(0,k)を通れば、逆に言って点(0,k)から曲線y=f(x)に接線を引くことが出来たということです。

全てのtについて接線が(0,k)を通るかどうか調べます。
どんなtでも(0,k)を通らなければ、(0,k)から接線は引けないということです。
あるひとつのtのときだけ(0,k)を通れば、(0,k)から引ける接線は一つ。
二つのtで(0,k)を通れば、(0,k)から引ける接線は二つです。
同様に三つでも四つでも考えられます。