数学の問題です。

質問

数学の問題です。 曲線 y=x^2-(7/2)x 上の点(2,1)を通る接線の方程式を求めよ。
曲線上の点(t,f(t))における接線の方程式y=(3t^2-7/2)x-2t^3を求め、この接線の方程式に(2,1)を代入しt^3-3t^2+4=0の形まで持っていくことは出来たのですが、解答ではこの後、「この方程式はt=2を重解に持つので(t-2)^2(t+1)=0」となっています。なぜt=2が重解になるのか分かりません。教えてください。

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

問題が間違っているうえ、設問が混乱しています。

y=x^3-(7/2)x

です。 y=x^2-(7/2)x ではない。

接線を求めるだけなら以下の通り。

y'=3x^2-7/2

点(2,1)を通る接線L:

y'=12-7/2=17/2

L: y-1=(17/2)(x-2)

y=(17/2)x-16

(t,f(t))における接線の方程式L: は

y=f(t)=t^3-(7/2)t

y'=3t^2-7/2

L: y-(t^3-(7/2)t)=(3t^2-7/2)(x-t)

y=(3t^2-7/2)x+(t^3-(7/2)t)-t(3t^2-7/2)

y=(3t^2-7/2)x-2t^3

＞この接線の方程式に(2,1)を代入し

これが何をやりたいのか不明。ともあれ代入すると

t^3-3t^2+4=0

は得られる。

＞「この方程式はt=2を重解に持つので(t-2)^2(t+1)=0」となっています。なぜt=2が重解になるのか分かりません。教えてください。

曲線と曲線が交わる時は２つの方程式を連立してできる方程式は一つの解を有します。

曲線と曲線が接する時は２つの方程式を連立してできる方程式は一つの重解を有します。

理由は接するということは交点が２点あって、それが近づいていった極限としての状態が

接するということ（一方の曲線を直線とすればイメージがはっきりするでしょう）であり、

２つの解が一致するという意味で重解になります。

お礼

丁寧な解答ありがとうございました！おかげで解決出来ましたm(_ _)m

回答No.1

shintaro-2

>解答ではこの後、「この方程式はt=2を重解に持つので(t-2)^2(t+1)=0」となっています。なぜt=2が重解になるのか分かりません。

どんな問題なのか理解できませんが
点(2,1)で接するから重解ということだと思います。

＞ 曲線 y=x^2-(7/2)x 上の点(2,1)を通る接線の方程式を求めよ。

普通、このような問題はｙを微分して、点(2,1)における傾きを出して
y=ax+bが点(2,1)を通るということから接線の式を求めるのが常道だと思うのですが、

どんな問題なのですか？

補足

問題文には「y=x^3-(7/2)x上の点(2,1)を通る接線の方程式を求めよ」としかありません。
(2,1)を通る直線((2,1)を接点とする接線と(2,1)を通るが接点としない接線)を求める問題です。