微分方程式から接線の傾き図示

質問

微分方程式　dx/dt=x+1 を　t=0のときx=0という初期条件で考えると。この微分方程式の解をx=f(t)とすると、これはt-x平面でのある曲線をあらわす。
ここからがわからないところです。
この曲線x=f(t)の上の点(t,x)では接線の傾きがx+1になっている。
xがtの関数ということはわかりますが、例えば　y=f(x) の接線の傾きはxの多項式であらわされるように、曲線x=f(t)の上の点(t,x)では接線の傾きはtの多項式だとおもいます。f(t)+1では具体的な傾きがわかりません。
本の続きでは、t-x平面の各点に傾きx+1の小線分(青線？)をとりつけた図をかいています。オレンジ線は微分方程式の答え。
横軸がtで傾きはx+1なので図示できないと思うのですが、なぜこのような図になるかわかりません。
どなたか、なぜ接線の傾きx+1は図示できるかおしえてください。お願いします。

回答No.2

info33 · ベストアンサー

>曲線x=f(t)の上の点(t,x)では接線の傾きはtの多項式だとおもいます。f(t)+1では具体的な傾きがわかりません。

接線の傾きはtの多項式とは限りません。
質問の問題の場合も, x= f(t)=e^(t)-1 でtの多項式ではありません。
dx/dt=1/(dt/dx)
と考えればいいでしょう。
x+1=1/(dt/dx)
dt/dx=1/(x+1)=e^(-t)
縦軸と横軸を逆にして x-t のグラフと考えればいいでしょう。

例えば (x,t)=(-0.5,log(0.5))における接線の方程式
t=(1/(-0.5+1))(x+1/2)+log(0.5) → t=2x+1+log(0.5)
(t, x)=(log(0.5), -0.5)における接線の方程式
→ x= t/2 - log(e/2)/2

>横軸がtで傾きはx+1なので図示できないと思うのですが、なぜこのような図になるかわかりません。
どなたか、なぜ接線の傾きx+1は図示できるかおしえてください。

x= -0.5における接線の傾きdx/dt=x+1= -0.5+1 = 0.5 の小線分
x=0.5における接線の傾きdx/dt=x+1= 0.5+1 = 1.5 の小線分
x=1.5における接線の傾きdx/dt=x+1= 1.5+1 = 2.5 の小線分
x=2.5における接線の傾きdx/dt=x+1= 2.5+1 = 3.5 の小線分
...

お礼

逆関数には気づきませんでした。ご指摘ありがとうございます。

回答No.1

jcpmutura

dx/dt=x+1
↓両辺をx+1で割ると
{1/(x+1)}dx/dt=1
↓両辺をtで積分すると
∫{1/(x+1)}(dx/dt)dt=t+c…(1)

F(x)=∫{1/(x+1)}dx…(2)
G(t)=∫{1/(x+1)}(dx/dt)dt…(3)
として(2)をxで微分すると
dF/dx=1/(x+1)
(3)をtで微分すると
dG/dt
={1/(x+1)}(dx/dt)
=(dF/dx)(dx/dt)
=dF/dt
∴
dG/dt=dF/dt
↓両辺をtで積分すると
G(t)=F(x)
↓(2)と(3)から
∫{1/(x+1)}(dx/dt)dt=∫{1/(x+1)}dx
↓これと(1)から
∫{1/(x+1)}dx=t+c
log(x+1)=t+c
↓logの定義から
x+1=e^{t+c}
↓C=e^cとすると
x+1=Ce^t…(4)
↓t=0の時x=0だから
1=C
これを(4)に代入すると
x+1=e^t
↓両辺から1を引くと
x=(e^t)-1

この曲線x=f(t)の上の点(t,x)では接線の傾きが
x+1=e^t
になっている。
f(t)+1=e^t
だから
(具体的な)傾きは
e^t
です
x+1=e^t
だから図示できる

お礼

微分方程式の解き方を丁寧に回答してくれて、ありがとうございます。(具体的な)傾きはe^tを求めてしまうというのも手ですね。