微分の問題

質問

関数F(X)＝X^3＋3X^2＋kX－1と定点A(1,0)がある。

(1)曲線Y＝F(X)上の点(t,F(t))における接線が点Aを通るための条件をkとtで表せ。

(2)点Aから曲線Y＝F(X)へ引ける接線が2本であるようなkの値を求めよ。

…という問題で、(1)は
F'(X)＝3X^2＋6X＋k
F'(t)＝3t^2＋6t＋k
F(t)＝t^3＋3t^2＋kt－1
より接線の方程式を求めて
A(1,0)を代入し

k＝2t^2－6t＋1という答えが出ました。

(2)はどのように解いたらいいのでしょうか。
接線が2本ということは接点が2個ということから
k＝2t^2－6t＋1が異なる2つの実数解を持てばよいことまで
わかるのですが、
この先どう展開したら
いいのでしょうか。
答えはk＝－3、5です。
答えの導き方を教えてください。
お願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
大筋の考え方は合っていると思います。

ところで、
＞k＝2t^2－6t＋1という答えが出ました。

をもう一度見直してみてください。

当然、3次曲線との位置関係にもよりますが、
3次曲線に対して引ける接線は最大 3本あるはずです。
ということを考えると、3次式になるかと。

お礼

そうですね！！
考え直してみます…